Encontrar un polinomio como $2836x^2-12724x+16129$

Question

He encontrado una función polinómica con coeficientes enteros:$f(x)=2836x^2-12724x+16129$ y $f(0)=127^2,f(1)=79^2,f(2)=45^2,f(3)=59^2,f(4)=103^2,f(5)=153^2.$

Mi pregunta es: ¿podemos encontrar una función polinómica con coeficientes enteros,llamados $f(x)$,que no tiene múltiples raíces,y $f(0),f(1),f(2),f(3),……,f(k)$ son distintos números al cuadrado?($k>5$ es un entero dado) Gracias a todos.

PS:lo siento,chicos.He perdido una condición muy importante:$f(x)$ debe ser una función cuadrática:$f(x)=ax^2+bx+c$.($a,b,c$ son enteros y $b^2-4ac≠0$)

Así que el método de interpolación de Lagrange no funciona.

Me pregunto ¿hay siempre un polinomio cuadrático al $k$ es arbitrariamente grande?

Answer 1

Uno de esos cuadrática $$p(t)=-4980t^2+32100t+2809$$ $p(0)=53^2,p(1)=173^2,p(2)=217^2,p(3)=233^2,p(4)=227^2,p(5)=197^2,p(6)=127^2$

Fuente : Polinomios E. J Barbeau

Answer 2

Un enlace interesante es la siguiente pregunta:

Menos de energía. Plazas de nuevo

Citando la respuesta dada no por Ivan Loh:

En el papel http://www.mast.queensu.ca/~murty/poly2.pdf, está demostrado que si un polinomio $P(x_1,x_2,…,x_n)\in \Bbb{Z}[x_1,x_2,…,x_n]$ es tal que $P(n)$ es un cuadrado perfecto para todas las opciones de $x_1,x_2,…,x_n$ $\lvert x_i \rvert \le c$ donde $c$ es lo suficientemente grande, $P(x)$ debe ser el cuadrado de un polinomio.

Véase también Un polinomio cuadrático conseguir la plaza de valores en los puntos consecutivos

ya se ha mencionado en un comentario.

Answer 3

Puede utilizar la interpolación de Lagrange para encontrar un polinomio con cualquier (finito) conjunto de valores que usted desea.

Answer 4

Algunas búsqueda por fuerza bruta da $289 + 2940 t - 420 t^2$, que satisface $$f(0)=17^2, \quad f(1)=53^2, \quad f(2)=67^2, \quad f(3)=73^2, \quad f(4)=73^2, \quad f(5)=67^2, \quad f(6)=53^2, \quad f(7)=17^2.$$ Esta es la única solución que he encontrado para la $k=7$. Voy a actualizar este post si/al en que mejor se puede.