Simultánea CW Aproximación

Question

Dado un espacio topológico $X$, sabemos que hay un CW complejo de $Z$ con un mapa de $Z\rightarrow X$ la inducción de un isomorfismo en homotopy grupos.

Si nos dan dos espacios de $X_{1}$ $X_{2}$ con isomorfo homotopy grupos (pero no continua mapa de la inducción de la isomorfismo), tiene sentido que no debería ser simultánea de un CW aproximación de $X_{1}$$X_{2}$, es decir, no debería ser un CW complejo de $Z$ mapas tanto en $X_{1}$ $X_{2}$ inducción de isomorphisms en homotopy grupos.

Entonces, ¿por qué el enfoque ingenuo para utilizar el método de Hatcher (Proposición 4.13) no funciona? Suponer sin pérdida de generalidad que todo es camino conectado y nuestros espacios son puntiagudas.

1) Vamos a $Z_{0}$ ser un punto y solucionarlo de una inclusión de $Z_{0}$ a $X_{1}$$X_{2}$.

2) Ahora, vamos a $\{\gamma_{\alpha}\}$ ser generadores de $\pi_{1}(X_{1})$. Deje $\{\gamma_{\alpha}'\}$ la correspondiente a los generadores en $\pi_{1}(X_{2})$ bajo el isomorfismo $\pi_{1}(X_{1})\rightarrow \pi_{1}(X_{2})$ (que no es inducida por un mapa continuo).

3) por Lo que ahora, adjunte una copia de $S^{1}$ $Z_{0}$para cada generador $\gamma_{\alpha}$ y un mapa de la $S^{1}$ $X_{1}$como un representante de la clase de $\gamma_{\alpha}$$\pi_{1}(X_{1})$. Para el \emph{mismo} copia de $S^{1}$, en el mapa a la representante de la clase de $\gamma_{\alpha}'$$\pi_{1}(X_{2})$.

4) Permitir que este nuevo espacio se $Z_{1}$. Por construcción, el mapa de $Z_{1}\rightarrow X_{1}$ induce un surjection $\pi_{1}(Z_{1})\rightarrow \pi_{1}(X_{1})$ y de manera similar, $Z_{1}\rightarrow X_{2}$ induce un surjection $\pi_{1}(Z_{1})\rightarrow \pi_{1}(X_{2})$.

5) Para cada elemento $\alpha$ de los kernel de $\pi_{1}(Z_{1})\rightarrow \pi_{1}(X_{1})$ , conectar un disco $D^{2}$, donde el límite del mapa, es un representante de $\alpha$. Desde el isomorfismo $\pi_{1}(X_{1})\rightarrow\pi_{1}(X_{2})$, $\alpha$ también está en el núcleo de $\pi_{1}(Z_{1})\rightarrow \pi_{1}(X_{2})$.

6) Deje que el nuevo espacio obtenido después de colocar estos discos se $Z_{1}'$.

7) Ahora, queremos adjuntar copias de $S^{2}$, de modo que nuestros mapas se inducen surjections en $\pi_{2}$. Hacemos lo mismo que hicimos en el paso tres para obtener un espacio de $Z_{2}$.

8) Continuar este proceso indefinidamente para construir una $CW$ aproximación $Z$ $X_{1}$ $X_{2}$ tal que $Z\rightarrow X_{1}$ induce isomorphisms $\pi_{*}(Z)\rightarrow \pi_{*}(X_{1})$$\pi_{*}(Z)\rightarrow \pi_{*}(X_{2})$.

Answer 1

Como usted dice a menudo no existe aún un zig-zag de la debilidad de las equivalencias entre los dos arbitraria de espacios con la misma homotopy grupos.

Ver http://mathoverflow.net/questions/3540/are-there-two-non-homotopy-equivalent-spaces-with-equal-homotopy-groups para citar algunos ejemplos. Estos son ejemplos que están CW complejos, y por tanto si hubo un zig-zag de la debilidad de equivalencias hay, en efecto, un homotopy de equivalencia (Whitehead del teorema).

Me imagino que el problema es que usted no tiene ninguna manera de ampliar el mapa en particular construido en los pasos 1 a 6 para un mapa entre los espacios construidos en el paso 7.

Answer 2

Su construcción se ve bien para mí, sin embargo, que en realidad no han demostrado que existe una débil homotopy equivalencia entre el$X_1$$X_2$.

Deje $\stackrel{\sim}{\rightarrow}$ denotar la relación de la debilidad de la equivalencia. Usted ha demostrado que $Z\stackrel{\sim}{\rightarrow}X_1$$Z\stackrel{\sim}{\rightarrow}X_2$, pero, debido a $\stackrel{\sim}{\rightarrow}$ es no simétrica respecto, no podemos deducir que $X_1\stackrel{\sim}{\rightarrow}X_2$ sin más supuestos (normalmente CW supuestos).

No estoy seguro de que en la historia de el tema, pero me imagino mapas con estas propiedades sólo están llamados equivalencias porque realmente no inducir las relaciones de equivalencia en algunas categorías.