Cómo obtener la inversa de la fórmula para la suma de números enteros de 1 a n?

Question

Yo sé muy bien que la suma de números enteros de $1$$n$$\dfrac{n\times(n+1)}2$. Lo que me interesa hoy en día, y no puede encontrar una solución, es la realización de la operación opuesta.

Deje $m = \dfrac{n^2 + n} 2$. Conocer el valor de $m$, ¿cómo puedo averiguar el valor de $n$? Fácilmente se podría programar una solución pero me gusta mucho más que una expresión algebraica.

Answer 1

Simple álgebra es suficiente: $$\begin{align} m &= \frac{n^2+n}{2} \\ 2m &= \left(n+\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \\ \sqrt{2m + \frac{1}{4}} - \frac{1}{2}&= n \end{align} $$

y hemos terminado.

Answer 2

La forma más fácil y rápida es multiplicar $m$$2$, tomar la raíz cuadrada y redonda que hacia abajo al número entero más cercano.

Por Ejemplo: $m = 55$. Y, $55*2 =110$. Tenemos $\sqrt{110} = 10.4$ .... Redondear hacia abajo a $10. n=10$

Esto funciona porque sabemos $2m = n\times (n+1)$, por lo que la raíz cuadrada de que se entre $n$$n+1$.

Pero si quieres una solución algebraica, se puede utilizar la fórmula $n = \frac{-1+\sqrt{1+8\times m}}{2}$

Mismo ejemplo: $m=55:$ $n= \frac{-1+\sqrt{1+8\times55}}{2} = \frac{-1+\sqrt{441}}{2} = \frac{-1+21}{2} = \frac{20}{2} =10$

Answer 3

Usted tiene que $m = \dfrac{n^2 + n} 2$, lo que le dará $2m=n(n+1)$.

Usted puede hacer una ecuación cuadrática $n^2+n-2m=0$. En la solución de la ecuación cuadrática se puede conseguir que la $n=\frac{-1 \pm\sqrt{1+8m}}{2}$. Ahora resolver este (como sabe el $m$, usted puede encontrar fácilmente $n$) y eliminar el negativo de la solución (Como $n$ no puede ser negativo).