Hagámoslo de la forma más explícita posible (me gustaría encontrar la constante y el término de error)
1 El problema original En primer lugar, consideremos la identidad $\log\left(1-\frac{2}{p}+\frac{1}{p^2}\right) +\log\left(1- \frac{1}{(p-1)^2} \right)=\log\left(1- \frac{2}{p} \right)$ . De ello se deduce que
$$\sum_{2<p\leq n}\log\left(1-\frac{2}{p}+\frac{1}{p^2}\right) +\sum_{2<p\leq n} \log\left(1- \frac{1}{(p-1)^2} \right) = \sum_{2<p\leq n}\log\left(1-\frac{2}{p}\right)$$
Multiplicando por uno negativo y exponenciando ambos lados se obtiene
$$\left(\prod_{2<p\leq n}1-\frac{1}{p}\right)^{-2} \cdot \prod_{2<n<p} \left(1- \frac{1}{(p-1)^2} \right)^{-1} = \left(\prod_{2<p\leq n}1-\frac{2}{p}\right)^{-1} $$
Recall $ \Pi_2=\prod_{2<p} \left(1- \frac{1}{(p-1)^2} \right)$ es el Constante Primaria Gemela y que el producto único de la izquierda converge al recíproco de éste. Es entonces por una de las fórmulas de Mertens que sabemos $$\left(\prod_{2<p\leq n}1-\frac{1}{p}\right)^{-1}=\frac{1}{2}e^\gamma \log n + O(1)$$ donde $\gamma$ es el Constante de Euler Mascheroni . (Concretamente se trata del Teorema 2.7 (e) de Montgomery Teoría multiplicativa de números I. Teoría clásica ) Al elevar al cuadrado este resultado asintótico, podemos concluir:
$$\left(\prod_{2<p\leq n}1-\frac{2}{p}\right)^{-1} = \frac{1}{4}e^{2\gamma}\Pi_2^{-1} \log^2n + O(\log n)$$
Espero que le sirva de ayuda,
Nota: La razón por la que he sustituido el otro producto por la constante prima gemela es porque converge muy rápido en comparación con el término de error. Puedo dar más detalles si se desea, pero lo dejaré como un ejercicio.
2 ¿Qué es lo mejor posible? ¿Se puede mejorar el término de error? Sí. Resulta que podemos mejorar mucho ese término de error. Usando el Teorema de los Números Primos encontramos $$\prod_{2<p\leq n} \left( 1-\frac{1}{p}\right)^{-1}=\frac{1}{2}e^\gamma \log n + e^{-c\sqrt{\log n}}$$ donde $c$ es la constante utilizada en la prueba de la Región Libre Cero. Dado que $e^{-\sqrt{\log n}}$ disminuye más rápido que cualquier potencia de $\log$ obtenemos un resultado mucho mejor al elevar al cuadrado esta estimación. Precisamente tenemos:
$$\left(\prod_{2<p\leq n}1-\frac{2}{p}\right)^{-1} = \frac{1}{4}e^{2\gamma}\Pi_2^{-1} \log^2n + O\left( e^{-c\sqrt{\log n}} \right)$$
(de nuevo la convergencia a $\Pi_2$ es demasiado rápido para interferir con el término de error)
Estaría dispuesto a apostar que este es el mejor que podemos hacer, y que algo mejor implicaría resultados más contundentes en cuanto al término de error para $\pi(x)$ la función de recuento de primos.
3 Numéricos Sólo por diversión, la constante exacta delante del $\log^2n$ es: 1.201303. ¿Cuánto se aproxima? Bien por:
$n=10$ obtenemos un error de $0.630811$
$n=50$ obtenemos un error de $1.22144$
$n=100$ obtenemos un error de $0.63493$
$n=1000$ obtenemos un error de $0.438602$
$n=10^4$ obtenemos un error de $0.250181$
$n=10^5$ obtenemos un error de $0.096783$
$n=10^6$ obtenemos un error de $0.017807$
Donde cada vez el error es positivo. Es decir, el producto parece ser ligeramente mayor que la asíntota (pero converge con bastante rapidez). Sin embargo, mi intuición me dice que es casi seguro (no lo demostraré aquí) que el término de error oscila entre negativo y positivo infinitamente a menudo.
4 Bajo la hipótesis de Riemann
Si asumimos la Hipótesis de Riemann, el término de error está acotado por $$\frac{C\log^2 x}{\sqrt{x}}$$ para cierta constante C. Analizando los datos anteriores con métodos numéricos, el error parece ajustarse mejor mediante $\frac{C\log x}{\sqrt {x}}$ .