No creo que necesites el cilindro de mapeo o el modelo CW para esto.
Comienza con la factorización $$ X \xrightarrow{i} Z_0 \xrightarrow{g} Y, $$
donde $Z_0 = X$, $i = \Bbb 1_X$ y $g = f$. Obviamente $i_*$ es un isomorfismo en $\pi_j$ para $j \le n$. Adjuntaremos $k$-celdas a $Z_0$ para $k \ge n + 1$ y extendiremos $g$ para hacer que $g_*$ sea un isomorfismo en $\pi_j$ para $j \ge n + 1$, manteniendo $i_*$ como isomorfismo para $j \le n$. Usaremos $Z_k$ para referirnos al resultado de adjuntar $k$-celdas a $Z_{k-1}$.
Fija puntos base para $Z_0$ e $Y$.
Comenzaremos haciendo que $g_*$ sea sobreyectivo en $\pi_{n+1}$. Al igual que en la construcción de aproximaciones CW, elige mapas $\varphi_\alpha : S^{n+1} \to Y$ que representen a los generadores del grupo $\pi_{n+1}(Y)$. Para cada $\varphi_\alpha$, adjunta una $(n+1)$-celda a través de un mapa constante al punto base de $Z_0$. Esto nos da $Z_{n+1}$. Extiende $g$ a $Z_{n+1}$ a través de los mapas $\varphi_\alpha$. El resultado de $g_*$ es sobreyectivo en $\pi_{n+1}$ por construcción.
Dado que el par $(Z_{n+1}, X)$ es $n$-conexo, $i_*$ sigue siendo un isomorfismo para $j < n$, y sobreyectivo para $j = n$. Dado que $Z_{n+1}$ es la suma puntual de $X$ con $(n+1)$-esferas, hay una retracción de $Z_{n+1}$ sobre $X$. Esto hace que $i_*$ sea inyectivo en $\pi_j$ para todos los $j$. Así, $i_*$ sigue siendo un isomorfismo en $\pi_j$ para $j \le n$.
Ahora adjuntaremos $k$-celdas a $Z_{n+1}$ para $k > n + 1$ para hacer que $g_*$ sea un isomorfismo en $\pi_j$ para $j \ge n + 1. Tales celdas no afectarán a los grupos homotópicos para $j \le n$, por lo que $i_*$ seguirá siendo un isomorfismo en estas dimensiones.
Para cada $k > n + 1$, adjunta inductivamente $k$-celdas a $Z_{k-1}$ para hacer que $g_*$ sea inyectivo en $\pi_{k-1}$ y sobreyectivo en $\pi_k$, exactamente como se hace en la construcción de aproximaciones CW. El resultado final es la factorización deseada.
