Demostrar que $|e^{i\theta_1}-e^{i\theta_2}| \leq |\theta_1 - \theta_2|$

Question

Estoy tratando de probar la desigualdad

$$|e^{i\theta_1}-e^{i\theta_2}| \leq |\theta_1 - \theta_2|$$

He tratado de usar la fórmula de Taylor y me esta

$$|e^{i\theta_1}-e^{i\theta_2}| = |(1+i\theta_1 - \frac{\theta_1^2}{2} + \ldots) -(1 +i\theta_2 - \frac{\theta_2^2}{2} + \ldots)| = |i(\theta_1-\theta_2) + \frac{\theta_2^2-\theta_1^2}{2}+\ldots|$$

El primer término se ve bien, pero ¿cómo debo proceder?

Answer 1

$$\begin{align} |e^{i\theta_1} - e^{i\theta_2}| &= |e^{i\theta_2}||e^{i(\theta_1 - \theta_2)} - 1|\\ &= |e^{i(\theta_1 - \theta_2)} - 1| \\ &= |e^{i(\theta_1 - \theta_2)/2}||e^{i(\theta_1 - \theta_1)/2} - e^{-i(\theta_1 - \theta_2)/2}| \\ &= |e^{i(\theta_1 - \theta_2)/2} - e^{-i(\theta_1 - \theta_2)/2}| \\ &= |2i \sin((\theta_1 - \theta_2)/2)| \\ &= 2|\sin((\theta_1 - \theta_2)/2)| \\ &\leq 2|(\theta_1 - \theta_2)/2| \\ &= |\theta_1 - \theta_2| \end{align}$$ donde la desigualdad es debido al hecho de que $|\sin(x)| \leq |x|$ para todos los verdaderos $x$.

Answer 2

$$|e^{i\theta_1}-e^{i\theta_2}|= |(e^{i\theta_1}-1)-(e^{i\theta_2}-1)|= |\int^{\theta_1}_0ie^{it}dt-\int^{\theta_2}_0ie^{it}dt | = |\int^{\theta_1}_{\theta_2}ie^{it}dt |\leq |\theta_1 - \theta_2|.$$

Todos los créditos van para @1015 y su gran respuesta en aquí.

Answer 3

Pensar geométricamente. Podemos representar complejo exponencial en el círculo unidad. La cantidad de $|e^{i\theta_1} - e^{i\theta_2}|$ es la distancia entre los dos puntos en el círculo, la línea azul. Geométricamente $\theta_1,\theta_2$ son las longitudes de arco y por lo $|\theta_1 - \theta_2|$ es la longitud del arco que delimita la línea azul. Así que podemos ver que $|\theta_1 - \theta_2|$ es más largo ya que la recta es la distancia más corta entre dos puntos.