2013th derivada de la función racional

Question

Estoy luchando para encontrar $f^{(2013)}(0)$ $$f(x) = \frac{1}{1 + x + x^3 + x^4}$ $ sé que debo usar el poder de la serie, y a raíz de una sugerencia que me reescribir la ecuación como la siguiente:

$$1 = (1 + x + x^3 + x^4)(\sum_{n = 0}^{\infty} a_n x^n) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_n x^n + \sum_{n = 0}^{\infty} a_n x^{n + 1} + \sum_{n = 0}^{\infty} a_n x^{n + 3} + \sum_{n = 0}^{\infty} a_n x^{n + 4}$$

Puedo trabajar el valor de $a_0$ fácilmente, pero no estoy realmente seguro de cómo resolver para el resto de los coeficientes y por lo tanto, encontrar los derivados... yo sé que el patrón se supone que es, pero estoy completamente perdida. Cualquier sugerencias en cuanto a cómo proceder?

Answer 1

Siguiendo la pista y dejando $f(x)=\sum_{n}a_n x^n$, usted tiene $$ \begin{eqnarray} 1&=&\left(1+x+x^3+x^4\right) f(x) \\ &=& \left(1+x+x^3+x^4\right)\sum_{n}a_n x^n \\ &=& \sum_na_nx^n+\sum_na_nx^{n+1}+\sum_na_nx^{n+3}+\sum_na_nx^{n+4} \\ &=&\sum_na_nx^n+\sum_na_{n-1}x^n+\sum_na_{n-3}x^{n}+\sum_na_{n-4}x^n \\ &=&\sum_n\left(a_n+a_{n-1}+a_{n-3}+a_{n-4}\right)x^{n}. \end{eqnarray} $$ La equiparación de idénticos poderes de $x$ le dice que $a_0=1$$a_{n}=-a_{n-1}-a_{n-3}-a_{n-4}$$n>0$. El cálculo directo de esta relación de recurrencia muestra que $a_{2013}=-672$. (También hay una forma cerrada de la solución, pero que no parece necesario aquí.) Desde $f^{(2013)}(0)=2013!\times a_{2013}$, encontrará $$ f^{(2013)}(0)=-672\cdot2013! \aprox -1.91\times 10^{5781}. $$

Answer 2

Ayuda a que $1+x+x^2 +x^3 + x^4 = \frac{1-x^5}{1-x}$? A continuación, puede separar la fracción y aplicar la extendida teorema del binomio.

Answer 3

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert #1 \right\vert}% \newcommand{\yy}{\Longleftrightarrow}$ $\ds{\fermi\pars{x} = \frac{1}{1 + x + x^3 + x^4} = {1 \over \pars{1 + x^{3}}\pars{1 + x}}\,,\quad \fermi^{\pars{2013}}\pars{0}:\ ?}$

\begin{align} \fermi\pars{x} &= \sum_{\ell = 0}^{\infty}\pars{-1}^{3\ell}x^{3\ell} \sum_{\ell' = 0}^{\infty}\pars{-1}^{\ell'}x^{\ell'} = \sum_{\ell = 0}^{\infty}\sum_{\ell' = 0}^{\infty}\pars{-1}^{\ell + \ell'} \sum_{n = 0}^{\infty}x^{n}\delta_{n,3\ell + \ell'} \\[3mm]&= \sum_{n = 0}^{\infty}x^{n}\sum_{\ell = 0}^{\infty}\pars{-1}^{\ell} \sum_{\ell' = 0}^{\infty} \pars{-1}^{\ell'}\delta_{\ell', n - 3\ell} = \sum_{n = 0}^{\infty}x^{n}\bracks{\sum_{\ell = 0}^{\infty} \pars{-1}^{\ell}\pars{-1}^{n - 3\ell}}_{n - 3\ell \geq 0} \\[3mm]&= \sum_{n = 0}^{\infty}{\fermi^{\pars{n}}\pars{0} \over n!}\,x^{n} \quad\mbox{where}\quad \fermi^{\pars{n}}\pars{0} = \pars{-1}^{n}\,n!\!\!\!\!\!\!\!\sum_{\ell = 0 \atop{\vphantom{\LARGE A}n - 3\ell\ \geq\ 0}}^{\infty}1 \end{align}

\begin{align} \fermi^{\pars{2013}}\pars{0} &= \pars{-1}^{2013}\,2013!\!\!\!\!\! \sum_{\ell = 0 \atop {\vphantom{\LARGE A}2013 - 3\ell\ \geq\ 0}}^{\infty} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!1 = -\pars{2013!}\sum_{\ell = 0}^{671}1 \end{align} $$ \color{#0000ff}{\large\fermi^{\pars{2013}}\pars{0} = -672 \times \pars{2013!}} $$