Grupo de clases ideal de $\mathbb{Q}(\sqrt{-103})$

Question

Quiero calcular el grupo de clases ideal de $\mathbb{Q}(\sqrt{-103})$. Por el límite de Minkowsky, cada clase tiene un ideal $I$ tal que $N(I) \leq 6$. Es suficiente considerar ideales primos con la misma propiedad. Vamos a denotar por $R$ al anillo de enteros. Así que tenemos $2R= (2, \frac{1+\sqrt{-103}}{2})(2, \frac{1-\sqrt{-103}}{2})$, $3R$ y $5R$ son primos. El grupo de clases ideal está generado por $P=(2, \frac{1+\sqrt{-103}}{2})$. $N(P)=2$ y por lo tanto $P$ no es principal. La norma absoluta es $N(P^2)=4$ y si $P^2=(a)$ entonces $(a)=(2)$, pero $P^2 \neq 2R$, porque $2R=P \overline{P}$, $P \neq \overline{P}$. $N(P^3)$\=8 y es obvio que $P^3$ no es principal. ¿Cómo puedo continuar este argumento para otras potencias de $P$ y cuándo se detiene esto?

Answer 1

Como señala Jyrki Lahtonen en su comentario, la norma del ideal principal $I = \left( \frac{5 + \sqrt{-103}}{2} \right)$ es $2^5$. Por lo tanto, será suficiente demostrar que $I = P^5$ o $I = \bar{P}^5$, ya que 5 es primo y, por lo tanto, tendrá que ser el orden exacto de $P$ en el grupo de clases.

Ahora bien, $P$ y $\bar{P}$ son los únicos dos ideales de $R = \mathbb{Z} \left[ \frac{1 + \sqrt{-103}}{2} \right]$ por encima de 2. Por lo tanto, inmediatamente sabemos que $I = P^n \bar{P}^{5-n}$ para algún $n$ entre 0 y 5. Pero si $n$ no es ni 0 ni 5, entonces $P\bar{P} = 2R$ divide (es decir, contiene) a $I$, lo que lleva inmediatamente a una contradicción, ya que el generador no es divisible por 2 en $R$. Por lo tanto, $I \not\subseteq 2R$, por lo tanto $n = 0$ o 5 y hemos terminado.

Answer 2

Editar, diciembre de 2022. Por un corto tiempo hubo un lugar para publicaciones de blog relacionadas con MSE o MO. Jyrki había pedido un documento breve sobre esto

Original: La gente no parece gustar de la descripción en forma cuadrática de las cosas, pero es el caso que, si el discriminante $\Delta$ es negativo, el grupo de formas cuadráticas binarias de discriminante $\Delta$ es isomorfo al grupo de clases de $\mathbb Q(\sqrt \Delta).$ Las condiciones para esto son o bien que $\Delta \equiv 1 \pmod 4$ es libre de cuadrados, o que $\Delta$ es divisible por 4, $\Delta /4$ es libre de cuadrados, y $\Delta /4 \equiv 2,3 \pmod 4.$

Para ti, $\Delta = -103 \equiv 1 \pmod 4.$ El grupo de formas, bajo composición gaussiana, es cíclico de orden 5:

jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./classGroup
Valor absoluto del discriminante?  103   número de clase  5

( 1, 1, 26) 
( 2, -1, 13) 
( 2, 1, 13) 
( 4, -3, 7) 
( 4, 3, 7)

Cada (A,B,C) se refiere a $A x^2 + B x y + C y^2.$

Si tuvieras un $\Delta$ positivo, las restricciones de congruencia serían las mismas, también tendríamos que requerir que $\Delta$ no sea un cuadrado, y estaríamos calculando el grupo de clases estrechas. En este caso, si hay una solución integral para $u^2 - \Delta v^2 = -4,$ el grupo de clases estrechas y el grupo de clases coinciden, así que estamos listos. Si no hay una solución para $u^2 - \Delta v^2 = -4,$ entonces el grupo de clases es el subgrupo de cuadrados del grupo de clases estrechas. Historia larga. En este último caso, estás, en efecto, manteniendo la forma que representa $1,$ pero descartando la (distinta en este caso) forma que representa $-1.$