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Parece que no he escrito mi pregunta con suficiente claridad, así que voy a intentar desarrollar más con el ejemplo de quantum de túneles. Como una exención de responsabilidad, quiero decir que mi pregunta no es acerca de cómo realizar una Mecha de rotación en la ruta integral de la formulación!
Vamos a buscar la probabilidad cuántica de los túneles en la ruta integral de la formulación. El potencial está dado por $V[x(t)]=(x(t)^2-1)^2$, que tiene dos mínimos en $x=\pm x_m=\pm1$. Dado que la partícula comienza a $t=-\infty$$x=-x_m$, ¿cuál es la probabilidad de que se a $x=x_m$$t=\infty$. La probabilidad de amplitud está dada por
$$K(x_m,-x_m,t)=\langle x_m|e^{-i \hat H t}|-x_m \rangle$$
El truco habitual es la Mecha de rotar $t\to-i\tau$, calcular todo en tiempo imaginario, utilizando un punto de silla de aproximación y al final de los cálculos, gire de nuevo a tiempo real. Entiendo cómo funciona. No hay problema con eso.
Lo que quiero entender es
- ¿cómo puedo hacer el cálculo sin utilizar la Mecha de la rotación?
- ¿cómo funciona esta solución conectarse a la distancia Euclídea formulación?
En principio, debemos ser capaces de hacer el cálculo con la ruta integral de la formulación en tiempo real
$$\int Dx(t) e^{i S[x(t)]/\hbar}$$
En la fase estacionaria de la aproximación de buscar una ruta compleja $x(t)$, lo que minimiza la acción, y ampliar sobre este punto.
Elija $m =1$ por la simplicidad. La ecuación del movimiento es
$$\ddot x-2 x+2x^3=0$$
que no tiene solución real, es decir, no Newtoniano (clásica) de la solución. Pero no es una función compleja que lo soluciona: $x_s(t)=i \,\tan(t)$. Uno de los problemas es que se comporta bastante mal. Si de todos modos acepto esta una solución correcta, que debe ser capaz de calcular el gaussiano fluctations, se suman todos los kinks/antikinks, etc. y recuperar el resultado correcto (por lo general se obtiene con la distancia euclídea acción y $\tau\to -it$). Estoy en lo cierto?
Así que mi pregunta es: es posible hacer el cálculo de esa manera, y si es así, cómo se relaciona con el truco de ir adelante y atrás en el tiempo imaginario?
Original
Tengo una pregunta sobre el significado matemático de la Mecha de rotación en la ruta integrales, como es el uso para calcular, por ejemplo, la probabilidad de que el túnel a través de una barrera (utilizando instantons).
Soy consciente de que cuando computación ordinaria de la integral utilizando la Fase Estacionaria Aproximación
$\int dx e^{i S(x)/\hbar}$
con $x$ $S$ real, uno debe mirar el mínimo de $S(z)$ en todo el plano complejo, que puede ser, por ejemplo, en el eje Imaginario.
En el caso de una ruta integral, uno quiere calcular
$\int Dx(t) e^{i S[x(t)]/\hbar}$
y no hay a priori ninguna razón para que el "clásico de ruta" de $x_a(t_a)$ $x_b(t_b)$(es decir, que minimiza $S[x(t)]$) deben estar en el eje real. Yo no tengo ningún problema con eso. Lo que yo realmente no se que es el sentido de la Mecha de la rotación $t\to -i\tau$ (laico) punto de vista matemático, porque no es como si la función de $x(t)$ es imaginario (por ejemplo, $x(t)\to i x(t)$), pero es su variable que vamos a cambiar !
En particular, si me discretizar la ruta integral (que es lo que uno debe hacer para hacer sentido de ella), puedo obtener
$\int \prod_n d x_n e^{i S(\{x_n\})/\hbar}$.
donde $S(\{x_n\})=\Delta t\sum_n\Big\{ (\frac{x_{n+1}-x_n}{\Delta t})^2-V(x_n)\Big\}$
En este nivel, la Mecha de rotación se aplica en el momento de la rebanada $\Delta t\to -i\Delta \tau$, y no parece ser un significativo cambio de variable en la integral
Entiendo que si empiezo con una evolución operador $e^{-\tau \hat H/\hbar}$ me va a obtener la ruta de acceso integral después de la Mecha de la rotación, pero parece ser un enrevesado argumento.
La pregunta es : ¿Es matemáticamente significativo para hacer la Mecha de rotación directamente en el nivel de la ruta integral, y especialmente cuando se discretiza?
