Las integrales de una función suave

Question

¿Existe un liso ($\mathcal C^\infty$) de la función de $f \colon \mathbb R \to \mathbb R$ tal que

$$\int_{-\infty}^\infty t^n f(t) \,\mathrm{d}t = \begin{cases} 1 & n = 0 \\ 0 & n \ge 1\end{cases}?$$

Sin duda se ve como una aplicación de la transformada de Fourier y la siguiente fórmula: si $$\hat f (\xi) = \int_{\mathbb R} f(x) \exp(-2\pi i x \xi) \,\mathrm{d}x,$$ entonces la transformada de Fourier de $x^n f(x)$ es igual a $$\frac{i^n}{2^n \pi^n} \frac{\mathrm{d}^n \hat f(\xi)}{\mathrm{d} \xi^n}.$$

¿Cómo proceder?

Answer 1

Sí, una función como la que existe. También se puede tomar para estar en el espacio de Schwartz $\mathcal{S}$, el uso de la transformada de Fourier.

Considere la posibilidad de un suave corte de $g$, que se apoya en el $[-1,1]$, $g(0)=1$ $g^{(n)}(0)=0$ todos los $n\geq 1$. A continuación, $g$ pertenece a $\mathcal{S}$, por lo tanto, no existe $f\in\mathcal{S}$ tal que $\hat{f}=g$. Entonces, $$\int_{\mathbb R}f(t)\,dt=\int_{\mathbb R}f(t)e^{-2\pi it\cdot 0}\,dt=\hat{f}(0)=g(0)=1,$$ and also, for $n\geq 1$, $$\int_{\mathbb R}t^nf(t)\,dt=\int_{\mathbb R}t^nf(t)e^{-2\pi i\cdot 0}\,dt=\widehat{(t^nf(t))}(0)=\frac{i^n}{2^n\pi^n}(\hat{f})^{(n)}(0)=\frac{i^n}{2^n\pi^n}g^{(n)}(0)=0.$$