demostrar que una función sea constante

Question

Deje que la función de $f\colon \mathbb{R} \to\mathbb{R}$ arbitrariamente positiva pequeños periodos de tiempo, en el sentido de que si $\delta>0$ existe $T \in (0,\delta)$ tal que $f(t + T) = f(t)$ todos los $t \in \mathbb{R}$.

(i) Probar que si $f$ es continuo, a continuación, $f$ es constante.

(ii) ¿Qué pasa si $f$ no se supone que ser continua?

Answer 1

(ii) es respondida por $f(x)=\mathbf 1_\mathbb Q(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\notin\mathbb Q\end{cases}$.

(i) Deje $x\in\mathbb R$ ser arbitraria. Deje $\epsilon>0$ ser dado. Existe una $\delta>0$ tal que $|f(y)-f(x)|<\epsilon$ si $|y-x|<\delta$. Deje $T\in(0,\delta)$ ser un período. A continuación, $f(nT)=f(0)$ todos los $n\in \mathbb Z$ (por inducción sobre $n$). Deje $n=\left\lfloor\frac xT\right\rfloor$. A continuación, $nT\le b<(n+1)T$ y, por tanto,$|b-nT|<T<\delta$. Llegamos a la conclusión de $|f(x)-f(0)|=|f(x)-f(nT)|<\epsilon$. Desde $\epsilon$ fue arbitraria, $f(x)=f(0)$. Desde $x$ fueron arbitrarias, $f$ es constante.

Answer 2

(i) Para cada una de las $n$, $0<T_n<n^{-1}$ tal que $f(x+T_n)=f(x)$$x\in \Bbb R$. Podemos mostrar que $f$ es uniformemente continua en a $[0,T_n]$. Por lo tanto, fijar $\varepsilon>0$, e $n$ que si $x\in [0,T_n]$,$|f(x)-f(0)|<\varepsilon$. Deje $x\in \Bbb R$. Escribo como $N_nT_n+c_n$ donde $N_n$ es un número entero y $c_n\in (0,T_n)$. Entonces $$|f(x)-f(0)|=|f(c_n)-f(0)|\leqslant \varepsilon.$$ Como es cierto para todos los $x$ y todos los $\varepsilon$ tenemos que $f(x)=f(0)$ todos los $x\in\Bbb R$.

(ii) Un contra-ejemplo es la función característica de los números racionales.

Answer 3

Deje $\Delta = \{\tau | f(0) = f(\tau)\}$. Por supuesto, existe una secuencia $T_i \downarrow 0$ tal que $f$ $T_i$- periódico. Por lo tanto $\{kT_i\}_{k \in \mathbb{Z}} \subset \Delta$ todos los $i$. Se sigue de esto que $\Delta$ es densa.

Si $f$ no es continuo, $1_\mathbb{Q}$ muestra $f$ no necesita ser constante.

Si $f$ es continuo, $\Delta$ es cerrado (y denso), por lo tanto $\Delta = \mathbb{R}$.