Encontrar mínimo $\frac{x+y}{z}+\frac{x+z}{y}+\frac{y+z}{x}$

Question

Agradecería si alguien me podría ayudar con el siguiente problema

P. Hallazgo máximo mínimo $$\frac{x+y}{z}+\frac{x+z}{y}+\frac{y+z}{x}(\text{where} ~~x,y,z>0)$$

Answer 1

Por dejar que $u = \frac xy$ , $v = \frac yz$, y $w = \frac zx$ , nuestro convierte en la expresión de $(u + \frac1u) + (v + \frac1v) + (w + \frac1w)$ , cuyo mínimo es tres veces la de $f(t) = t + \frac1t$ , el cual se encuentra entre las raíces de la derivada de primer orden: $f'(t) = 1 - \frac1{t^2}$ , que se desvanece para $t = \pm1$ . Puesto que t es positivo, la única solución viable se convierte así en $t = 1$ , por lo que $f(t) = 1 + \frac11 = 2$ , lo que produce un valor mínimo de $3\cdot2 = 6$.

Answer 2

$$\frac{x+y}{z}+\frac{x+z}{y}+\frac{y+z}{x}(\text{where} ~~x,y,z>0)$$

Considere lo siguiente :

$a , \frac{1}{a}$ sabemos que $A.M. \geq G.M.$

$\therefore \frac{a+ \frac{1}{a}}{2} \geq \sqrt{a . \frac{1}{a}}$

$\Rightarrow \frac{a^2+1}{2a} \geq 1$

$\Rightarrow a^2 + 1 \geq 2a$ $\Rightarrow (a-1)^2 \geq 0$

$\Rightarrow a \geq 1$

$\therefore$ la expresión tiene sólo valor mínimo que es el 1 y no el valor máximo.

La expresión $$\frac{x+y}{z}+\frac{x+z}{y}+\frac{y+z}{x}(\text{where} ~~x,y,z>0)$$

tiene valor mínimo de 1 + 1 +1 +1 +1 +1+1 = 6

Answer 3

Una manera más formal, la prueba de que no hay un límite máximo de la siguiente manera de tomar el primer derivados y comparando a cero, lo que indica que si $(x_0, y_0, z_0)$ es de un máximo / mínimo, se satisface: $$x_0 = y_0 = z_0$$ Esto significa que usted puede calcular el estado de Hesse haciendo solo dos cálculos para determinar el $f_{xx}$$f_{xy}$, mostrando que el máximo, decir $(x_0,x_0,x_0)$: $$H=\frac{2}{x_0^2}\left(\begin{matrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1 \\ 1& 1 & 2 \end{de la matriz}\right)$$ Desde $H$ es claramente positiva definida, la función no tiene máximo.

Answer 4

Tenga en cuenta que si $F(x,y,z) = \frac{x+y}{z}+\frac{x+z}{y} + \frac{y+z}{x}$,$F(kx,ky,kz)=F(x,y,z),\ k>0$. Así que vamos a utilizar Multiplicador de Lagrange método. Deje $g(x,y,z)=x+y+z$. La restricción es $x+y+z=1$.

$$\nabla F = (\frac{1}{z}+\frac{1}{y} - \frac{y+z}{x^2},\frac{1}{z}+\frac{1}{x} - \frac{x+z}{y^2},\frac{1}{y}+\frac{1}{x} - \frac{x+y}{z^2} ) =\lambda \nabla g$$

Por lo $$\frac{x^2(z+y) -(z+y)^2}{x^2yz}=\frac{z^2(x+y) -(x+y)^2}{xyz^2}= \frac{y^2(z+x) -(z+x)^2}{xy^2z} =\lambda$$

$$\frac{x^2(1-x) -(1-x)^2}{x^2yz}=\frac{z^2(1-z) -(1-z)^2}{xyz^2}= \frac{y^2(1-y) -(1-y)^2}{xy^2z} =\lambda$$

Tenga en cuenta que $\lambda\neq 0$ por la computación.

Por lo tanto, tenemos $$(xz-xyz-1)(x-z)=(xy-xyz-1)(x-y)=(yz-xyz-1)(y-z)=0$$

$x=z\neq y$ implica que el $2x^3-3x^2+x-1=0$. Pero es sólo una de las soluciones más grandes de $1$.

Si $x,\ y,\ z$ son distintos, $xz=xy=yz$. Contradicción.

Así $x=y=z$. $F(1/3,1/3,1/3)=6$ es mínimo.