Cómo discutir esta consecuencia?

Question

Supongamos que $\Omega=\mathbf{R}^n_+$ y considerar una función de $0<u<\sup\limits_\Omega u=M<\infty$ tal forma que: $$\Delta u+u-1=0 \ \ \text{in} \ \ \Omega,$$ $$u=0 \ \ \text{on} \ \ \partial\Omega.$$ Si $u$ existe,$M>1$.

No sé a discutir esto. Mi idea es tratar por la contradicción. Supongamos que $M\leq1$, por lo que $$\Delta u=1-u\geq0,$$ es decir, $u$ es un subarmónicos de la función. Si $u$ alcanza un máximo en el interior de $\Omega$, por el principio del máximo, $u$ debe ser una función constante y esta sería la contradicción. Pero no sé cómo probar que el es el máximo que se puede alcanzar en el interior.

Answer 1

Esta no es una respuesta completa, pero tal vez pueda ayudar a alguien a dar la respuesta completa. Mediante el uso de Op idea, estoy suponiendo que $u\leq 1$.

Caso $n=1$

Como el OP señalado, si la función de $u$ alcanza su máximo, entonces debe ser constante, por lo que podemos suponer que $u\neq 1$. Pero $u\neq 1$ implica que el $u''(x)>0$, o lo que es equivalente, $u$ es estrictamente convexa.

Debido a $u(0)=0$ $u>0$ podemos concluir que $u$ es ilimitada, por lo que es un absurdo. Esto concluye el caso de $n=1$.

Caso $n>1$

Tenemos algunos problemas que no puede suceder. Por ejemplo:

1 - Si $u$ alcanza un máximo local y un mínimo local, esto implica que hay algún punto de $x$ tal que $\Delta u(x)=0$.

2 - $u(x)$ puede no converge a$0$$x\rightarrow \infty$.

Tal vez hay un straightforwaard argumento, pero creo que con 1 y 2 es posible concluir que $u(x)=1$ por algún punto.

Edit: el Caso de $n>1$ (completo)

Mediante el uso de algunos de los resultados de Berestycki, Caffarelli y Nirenberg (ver referece arriba y las referencias allí) podemos concluir que $u$ es simétrica, es decir,$u=u(x_n)$. Esto implica, en nuestro caso, que $\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}=\Delta u>0$. Ahora, con la ayuda de el caso de $n=1$ podemos conlude.

Referencias:

H. Berestycki - L. Caffarelli - L. Nirenberg, Más propiedades cualitativas para ecuaciones elípticas en dominios no acotados, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze (1997), Volumen: 25, Número: 1-2, Editor: Scuola Normale Superiore, página 69-94

Answer 2

Supongamos que $u \in H_0^1(\Omega)$. Entonces tenemos $$ -\int_\Omega \nabla u \nabla \phi +\int_\Omega u\phi =\int_\Omega \phi, \forall \phi \in C_c^\infty(\Omega). $$

Podemos encontrar una secuencia de las funciones lisas $\phi_n$ que converge a$u$$H_0^1(\Omega)$. Entonces tenemos $$ -\int_\Omega |\nabla u|^2 +\int_\Omega u^2 =\int_\Omega u. $$

Supongamos que $M \leq 1$. A continuación, $u^2 \leq u$ en todas partes, y por lo tanto $$ \int_\Omega |\nabla u|^2 =0$$ Esto implica que $u$ es constante, y por lo tanto cero. Contradicción.

Tal vez esto puede ser adaptado para ser utilizado sin la suposición de que $u \in H_0^1(\Omega)$