Probar que si $P(P(x)) = Q(Q(x))$, entonces los polinomios $P$ $Q$ son iguales.

Question

Deje $P$ $Q$ ser polinomios con coeficientes complejos tales que $P(P(x)) = Q(Q(x))$. Demostrar que $P = Q$.

Es obvio que el grado de ambos será igual. Pero no tengo ninguna idea de cómo resolver esta cuestión.

Answer 1

Esto es claramente falso. Por ejemplo, $P(x) = -x$$Q(x) = x$. Entonces tenemos $$P(P(x)) = x = Q(Q(x))$$

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Hay muchas otras contador de ejemplos así. Por ejemplo, incluso en el caso de funciones lineales, existen infinidad de contador de ejemplo. Por ejemplo, si $P(x) = ax+b$$Q(x) = cx+d$, luego tenemos $$P(P(x)) = P(ax+b) = a(ax+b)+b = Q(cx+d) = c(cx+d) + d$$ Esto significa que necesitamos $$a^2x + b(a+1) = c^2x+d(c+1)$$ Esto significa $a^2=c^2$$b(a+1) = d(c+1)$. Si $a=c$,$b=d$. Si $a=-c$,$d=b \cdot \dfrac{1+a}{1-a}$.

De ahí, por ejemplo, $c=-2$, $a=2$, $d=-3b$. Por lo tanto, esto da $P(x) = 2x+b$$Q(x) = -2x-3b$.

Esto nos da $$P(P(x)) = P(2x+b) = 2(2x+b) + b = 4x+3b$$ and $$Q(Q(x)) = Q(-2x-3b) = -2(-2x-3b)-3b = 4x+3b$$