Notación Formal de la suma de los primeros a $n$ plazas

Question

He encontrado la siguiente sumatoria para ser verdad $$\sum_{i=1}^3 i^2 = 3+(3+2)+(3+2+1)$$ y funciona para la primera $n$ números, también sé que ya hay un resumen para que: $\sum_{i=0}^n i^2 = \frac{(n^2+n)(2n+1)}{6}$, pero eso no es lo que yo estoy buscando para el uso, mi pregunta es ¿cómo puedo lógicamente escribir que la primera suma, podría ser el siguiente? $$\sum_{i=1}^n i^2 = n+\big(n+(n-1)\big)+\big(n+(n−1)+(n−2)\big)+\dots$$ Creo que se ve un poco feo.

Cómo iba yo a escribir el anterior suma con una notación correcta?

Answer 1

Usted puede escribir como una doble sumatoria creo que, si he entendido correctamente:

$$ \sum_{i=1}^n i^2 = n+(n+(n-1)+\dots = \sum_{k=0}^n\sum_{i=0}^kn - i $$

Yo puede tener algunos de los indización fuera por uno, pero esta es la idea general.

Aquí es una buena intuición de por qué el doble de la suma en el lado derecho es igual a la suma en el lado izquierdo. Hagamos una cuadrícula de el doble de la suma de la derecha, donde las filas representan los valores de $k$ y las columnas representan los valores de $i$:

$$ \begin{array}{|c|ccc} \hline k \ \ / \ \ i& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & n\\ \hline 0 & n & \\ 1 & n & n-1 \\ 2 & n & n-1 & n-2 \\ 3 & n & n-1 & n-2 & n-3 \\ 4 & n & n-1 & n-2 & n-3 & n-4 \\ \vdots & \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \ddots \\ n & n & n-1 & n-2 & n-3 & n-4 & \ldots & 1\\ \end{array} $$

El doble de la suma en el lado derecho dado por:

$$ \sum_{k=0}^n\sum_{i=0}^kn - i $$

es equivalente a la adición de los valores de la cuadrícula de fila por fila. Es decir, se empieza en la primera fila y la extrapolación hasta el número de la columna igual a la fila actual. Para leer el $0$-ésima fila de a través de y consigue $n$, luego de leer a través de la primera fila y añadir $n + (n-1)$ y, finalmente, de lectura a través de la segunda fila y añadir $n + (n-1) + (n-2)$ y así sucesivamente, dando un total de $(n) + (n + (n-1)) + (n + (n-1) + (n-2) + \cdots + (n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 1)$.

Pero aviso, en lugar de añadir a través de las filas, equivalentemente, podemos agregar las columnas. Es decir, partimos en la columna de $0$ y añadir todos los valores en esta columna que se $n$ copias de el valor de $n$ dando un total de $n^2$. A continuación, pasar a la siguiente columna y agregar los valores de esta columna, que consta de $n-1$ copias de $n-1$ dando un total de $(n-1)^2$. Continuar de esta manera, tenemos que la suma en la red es igual a:

$$ n^2 + (n-1)^2 + (n-2)^2 + \cdots + 1 \\ = \sum_{i = 0}^n i^2 $$

así, el lado derecho es igual para el lado izquierdo.

Answer 2

Usted probablemente puede escribir como $\sum\limits_{i=1}^n i^2=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^i (n+1-j)$

Answer 3

Dejando a un lado la necesidad de manipulaciones que uno puede hacer con la suma de las identidades, tenga en cuenta que $$\begin{align} \text{RHS}=\quad &\color{red}3\\ +(&\color{red}3+\color{green}2)+\\ +(&\color{red}3+\color{green}2+\color{blue}1)\\\\\ =3(&\color{red}3)+2(\color{green}2)+1(\color{blue}1)\\\\ =\; \; \; &3^2+2^2+1^2\\\\ =\;\;\;&\sum_{i=1}^3 i^2 = \text{LHS} \end{align}$$

Usted puede probar que el caso general, utilizando el mismo método.

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La notación formal para $n$ números, como lo solicita, y la prueba de que es igual a la suma de los cuadrados es la siguiente:

$$\begin{align} \color{purple}{\sum_{i=1}^n}\sum_{j=1}^i \color{orange}{(n+1-j)} &=\color{purple}{\sum_{i=1}^n}\sum_{j=1}^i\color{orange}{\sum_{k=j}^n1}\\ &=\sum_{j=1}^n\color{purple}{\sum_{i=j}^n}\color{orange}{\sum_{k=j}^n1} && (1\le j\le i\le n)\\ &=\sum_{r=1}^n \;\;\color{purple}{\sum_{i=(n+1-r)}^n} \;\color{orange}{\sum_{k=(n+1-r)}^n 1} &&(r=n+1-j)\\ &=\sum_{r=1}^n \qquad \color{purple}r\;\;\cdot \quad \color{orange}r\\ &=\sum_{r=1}^n r^2 =\sum_{i=1}^n i^2 \end{align}$$

Answer 4

Tenga en cuenta que $i= \sum_{j=1}^i(1)$. Por lo tanto, podemos escribir

$$\begin{align} \sum_{i=1}^n i^2&=\sum_{i=1}^n i\sum_{j=1}^i(1)\\\\ &=\sum_{j=1}^n \sum_{i=j}^n i\,\,\dots\text{changing the order of summation}\\\\ &=\sum_{j=n}^1 \sum_{i=j}^n i \,\,\dots\text{reversing the order of the exterior summation}\\\\ &=n+(n+(n-1))+(n+(n-1)+(n-2))+\cdots+\sum_{i=1}^n i \end{align}$$

como iba a ser mostrado!