Búsqueda de $f(x)$ dada una función de $f : \Bbb N \to \Bbb N$ que satisface $f\circ f(x) + f(x) = 2x+15$

Question

Estoy atascado en la reescritura de la función $f\circ f(x) + f(x) = 2x+15$ (en $f(x) = \dots)$. La respuesta dada es $f(x) = x + 5$, lo que fácilmente se puede comprobar, pero no sé cómo ir sobre la formación de este, además de la prueba y el error. ¿Cómo voy a ir haciendo de forma sistemática?

También se da que $f : \Bbb N \to \Bbb N$ es inyectiva.

Answer 1

Una cosa razonable conjetura es que el $f(x)$ es un polinomio. Sin embargo, si el líder plazo es $x^n$, se obtiene un líder término en el lado izquierdo de $x^{n^2}$ vs el líder término en el lado derecho de la $x$. Esto significa $n=1$ si un polinomio es de ir a trabajar. Así que, a continuación, tratamos de $f(x)=ax+b$ y para resolver la incógnita de los coeficientes.

Answer 2

Tenemos la simple atado $$f(x)\le f(f(x))+f(x)= 2x+15.$$ También, $$\begin{array}{}f(f(f(x)))+2x+15&=f(f(f(x)))+f(f(x))&+f(x)\hphantom{,}\\&=2f(x)+15&+f(x),\end{array}$$ lo que implica $$\tag13f(x)-2x=f(f(f(x))).$$ Deje $$ C=\{\,c\in\Bbb R\mid \forall x\in\Bbb N\colon f(x)\ge cx\,\}$$ Claramente $0\in C$ $C$ está delimitada desde arriba. Por $(3)$. para cualquier $0\le c\in C$, $f(x)\ge\frac{2x+f(f(f(x)))}{3}\ge \frac{2+c^3}{3}x$ todos los $x\in\Bbb N$, es decir, también se $\frac{2+c^3}{3}\in C$. Deje $\gamma=\sup C$. A continuación,$\gamma\ge\frac{2+\gamma^3}{3}$, que (usando la factorización $\frac{X^3+2}3-3X=\frac13(X-1)^2(X+2)$ y $\gamma\ge 0$) implica $\gamma\ge1$. Por lo tanto $f(x)>cx$ todos los $c<1$, es decir, $$\tag2f(x)\ge x.$$ Por tanto, la función $g(x)= f(x)-x$ está delimitada desde abajo. Vamos $$A=\{\,a\in\Bbb R\mid \forall x\in\Bbb N\colon f(x)\ge x+a\,\}$$ and $$B=\{\,b\in\Bbb R\mid \forall x\in\Bbb N\colon f(x)\le x+b\,\}.$$ Como se ve, $0\in A$. Tenga en cuenta que $$g(f(x))+2g(x) =f(f(x))+f(x)-2x=15$$ por lo $a\in A$ implica que el $g(x)\le\lfloor \frac{15-a}2\rfloor$ todos los $x$, es decir, $\lfloor \frac{15-a}2\rfloor\in B$. Del mismo modo, $b\in B$ implica $g(x)\ge\lceil\frac{15-b}{2}\rceil$, es decir, $\lceil\frac{15-b}{2}\rceil\in A$. Por lo tanto llegamos a la conclusión de $$0\in A\implies 7\in B\implies 4\in A\implies 5\in B\implies 5\in A. $$ Llegamos a la conclusión de que $g(x)=5$ todos los $x$, y por lo tanto $$f(x)=x+5. $$

Answer 3

Las respuestas posibles (brillantes) son suficientes para responder a la OPs pregunta, sin embargo, me gustaría señalar otro enfoque en el que se trabaja a menudo para determinar todas las soluciones de una ecuación funcional similar a la de la pregunta:

Deje $a\in\mathbb{N}$ y definir la secuencia de $\{a_n\}_{n\ge0}\subset\mathbb{N}$$a_0=a$$a_{n+1}=f(a_n)$. Usando la condición se obtiene la relación de recurrencia $$ a_{n+2}+a_{n+1}=2a_n+15. $$ Con el fin de aplicar el procedimiento habitual de la resolución de una recurrencia lineal, tenemos que deshacernos de la $+15$plazo. Esto se puede hacer mediante la introducción de $\{b_n\}_{n≥0}$$a_n=b_n+5n$; el $b_n$ luego de satisfacer $$ b_{n+2}+b_{n+1}=2b_n. $$ El polinomio característico de esta relación es $p(\lambda)=\lambda^2+\lambda-2=(\lambda-1)(\lambda+2)$. Así tenemos $$ b_n=x+y(-2)^n\qquad\forall n\in\mathbb{N}_0 $$ para algunas constantes $x,y\in\mathbb{R}$. Pero ahora si $y\neq 0$, existe un $n\in\mathbb{N}$ tal que $a_n<0$ (porque vamos a tener $|y|2^N>x+5N$ de las grandes suficientemente $N$), lo que contradice el hecho de que $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$. Por lo tanto $y=0$ y, por tanto, $\{b_n\}$ es una constante de la secuencia. Como $b_0=a_0=a$ llegamos a la conclusión de $$ b_n=a\qquad\forall n\in\mathbb{N}_0 $$ y por lo tanto $$ a_n=a+5n\qquad\forall n\in\mathbb{N}_0\\ \implica f(a)=a_1=un+5. $$ Como $a\in\mathbb{N}$ fue arbitraria, llegamos a la conclusión de $$ f(n)=n+5\qquad\forall n\in\mathbb{N}. $$

Answer 4

Deje $x\in\mathbb{N}$.

Observar que para todos los $n\in\mathbb{N}$ uno: $$f^{n+2}(x)+f^{n+1}(x)-2f^n(x)=15.$$ Es fácil comprobar que la única solución es de la forma $$\forall n\in\mathbb{N},\ f^n(x)=5n+\alpha(x)+(-2)^n\beta(x).$$ Ahora, si $\beta(x)\neq0$, es fácil encontrar a $n\in\mathbb{N}$ tal que $f^n(x)<0$, lo que contradice el hecho de que $f$ toma sólo valores en $\mathbb{N}$. Por lo tanto $$\forall n\in\mathbb{N},\ f^n(x)=5n+\alpha(x).$$ Ahora $f^0(x)=x=\alpha(x)$ y tenemos por lo tanto, a la conclusión de que $f(x)=f^1(x)=5+x$.

Answer 5

¿este ingenuo argumento de la obra?

vamos $f(x) = y.$ $f(f(x)) + f(x) = 5$ implica $f(y) + y = 5$ todos los $y$ en el rango de $f.$