Usando el teorema de la Divergencia para calcular el flujo (en la Foto)

Question

Hasta ahora he llegado al punto de la informática div(F) y la integración de $0$ $x+1$para obtener la integral doble sobre $D$ $(x+1)^2$.

Mi problema es encontrar los límites del dominio que es el círculo de radio $2$ centrada en el origen. Entiendo que tengo que usar coordenadas polares, pero puesto que el círculo es cortada por la línea de $x=-1$. Estoy teniendo problemas para averiguar lo que los límites para el radio debe ser de $2\pi/3$ $4\pi/3$(algo adivinar el obligado para theta cuando el radio es cortada por la línea de $x = -1$)

Answer 1

El teorema de la divergencia nos permite escribir $$ \iint_S\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_W \nabla\cdot \vec{F}\; dV = \iiint_W 2z\; dV $$ donde $W$ es la región delimitada por $x^2+y^2=4$, $z=x+1$ y $z=0$, es decir, $$ W=\{(x,y,z)\;|\; -1\le x \le 2,\; 0\le z\le 1+x,\; -\sqrt{4-x^2}\le y \le \sqrt{4-x^2} \} $$ De ello se sigue que $$ \iiint_W 2z\; dV = \int_{-1}^2\int_0^{1+x}\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}2z\; dydzdx = \int_{-1}^2\int_0^{1+x} 4z\sqrt{4-x^2}\; dzdx \\= \int_{-1}^22(1+x)^2\sqrt{4-x^2}\; dx = \frac{16\pi}{3}+\frac{9\sqrt{3}}{2} $$

Answer 2

Si $x = r\cos\theta = -1$, luego \begin{align*} r = -\frac{1}{\cos\theta} = -\sec\theta \end{align*} Pero ya que esto significa que eventualmente tendrá dos calcular dos integrales, tal vez coordenadas polares no es el camino a seguir. \begin{align*} \iint_D (x+1)^2\,dA &= \int_{-1}^2 \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}(x+1)^2\,dy \,dx \\ &= 2 \int_{-1}^2 (x+1)^2\sqrt{4-x^2}\,dx \\ \end{align*} A continuación, sustituir $x=2\sin\theta$.