Cómo demostrar a $\sum_{k=0}^\infty \frac{2^k}{2^{2^k}+1}=1$?

Question

Cómo puedo probar este resultado? $$\sum_{k=0}^\infty \frac{2^k}{2^{2^k}+1}=1$$

La suma converge muy rápidamente: El término en $k=4$ es ya menor que $2^{-12}$ y cada término es mucho más pequeño que su predecesor.

He intentado sustituir el $2$'s $x$'s y en busca de poder de la serie, así como ver si la suma de los telescopios, pero nada hasta ahora ha funcionado.

Answer 1

Lo hacen en un telescópica suma de la siguiente manera \begin{align*} \sum_{k=0}^n \frac{2^k}{2^{2^k}+1}&=\sum_{k=0}^n \frac{2^k(2^{2^k}-1)}{(2^{2^{k+1}}-1)}\\ &=\sum_{k=0}^n \frac{2^k(2^{2^k}+1-2)}{(2^{2^{k+1}}-1)}\\ &=\sum_{k=0}^n \frac{2^k(2^{2^k}+1)}{(2^{2^{k+1}}-1)}-\frac{2^{k+1}}{(2^{2^{k+1}}-1)}\\ &=\sum_{k=0}^n \frac{2^k}{(2^{2^{k}}-1)}-\frac{2^{k+1}}{(2^{2^{k+1}}-1)}\\ &=1-\frac{2^{n+1}}{(2^{2^{n+1}}-1)}\rightarrow 1 \end{align*}