¿Qué es esto supremum

Question

Para cualquier $10$ puntos en el círculo unidad, ¿cuál es el valor de la supremum de la suma de los pares de las distancias entre el $10$ puntos, en la cual el supremum se toma sobre todas las configuraciones de 10 puntos?

Answer 1

(tome $\tau$$=2\pi$)

Me siento como su pregunta podría ser mejor explicado, pero es una pregunta interesante, sin embargo (si lo tengo). Si los puntos pueden estar en cualquier lugar sin secuencia, a continuación, cinco de ellos tendrá coordenadas como el $(\sin\frac\tau4;\cos\frac\tau4)=(0;1)$ y las otras cinco a $(1;0)$, lo que da una suma de $10$, 5 diámetros, debido a que el diámetro es la mayor posible de acordes. En general, para $n$ puntos en el círculo unidad, la mayor suma de distancias entre ellas, se puede obtener es de $2(n-1)$.

Si están en orden (reloj o en sentido contrario), entonces no podemos saltar como que, y en ese caso, si queremos estirar una cuerda demasiado, los demás serán más pequeños. De modo que el mayor va a ser la más parecida a la de la circunferencia, una regular decagon. "Tengo una prueba de ello, que esta página es estrecho para contener". :D , En realidad yo no, pero estoy tratando de encontrar uno (en general, para todos los $n$, no solo para el decagon, para que una prueba se puede encontrar mediante la fuerza bruta). La llamada es una conjetura, por ahora.

En un regular decagon (inscritos en el círculo unitario), los ángulos de cada punto al centro (como en comparación con la parte positiva de la $Ox$ eje en sentido antihorario) se $+\frac\tau{10}$ cada punto, con la primera en $0$ (por simplicidad). Vamos a llamar el primer punto de $A=(\sin0;\cos0)=(0;1)$. Para una inscrito $n$-agon (tener por lo tanto $n$ puntos), cada punto de la mayor suma en contra de las manecillas orden será:

$$ P_i=\left(\sin\left(\frac{\tau i}n\right);\cos\left(\frac{\tau i}n\right)\right) $$

It doesn't matter whether $i$ is the $0$-based index of points, until $n-1$, or a $1$-based index until $n$, as $\sin0=\sin\tau$, but as $$ is the first point and on the $Buey$ axis, we'll have to go for the first. Note $\forall\in \mathbb N_0, P_i=P_{i+an}$, because of the $\tau$ periodicity of the sine and cosine.

The distance between two points $$ and $B$ is $\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$, by the Pythagorean theorem. So their sum will be:

$$ \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{ \left( \sin\left(\frac{\tau i}n\right)-\sin\left(\frac{\tau(i+1)}n\right)\right)^2 +\left( \cos\left(\frac{\tau i}n\right)-\cos\left(\frac{\tau(i+1)}n\right)\right)^2 }=\\= \sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{2 -2\sin\left(\frac{\tau i}n\right)\sin\left(\frac{\tau(i+1)}n\right) -2\cos\left(\frac{\tau i}n\right)\cos\left(\frac{\tau(i+1)}n\right)} =\\= \sum_{i=0}^{n-1}\left( \sqrt2\sqrt{1 -\sin\left(\frac{\tau i}n\right)\sin\left(\frac{\tau(i+1)}n\right) -\cos\left(\frac{\tau i}n\right)\cos\left(\frac{\tau(i+1)}n\right)}\right) =\\= \sum_{i=0}^{n-1}\left( \sqrt2\sqrt{1 +\cos\left(\frac{\tau(2i+1)}n\right) -2\cos\left(\frac{\tau i}n\right)\cos\left(\frac{\tau(i+1)}n\right) }\right) $$

(note $P_0=P_n$, as generalized above; and remember the Pythagorean trigonometric identity plus some other properties I just learned about)

Applying to $n=10$ (thank God Wolfram Alpha understands $\LaTeX$, I just used 2*pi for \tau!) I got two different default exact results with the same approximation (I feel it works because the result is very close to $\tau=6,28...$. For those interested, I wasn't sure the trick I used to remove the sines worked so I tried both before and after. I digress away from the answer though, which is:

$$ 5\sqrt{6-2\sqrt5}=\sqrt5+4\sqrt{6-2\sqrt5}-1=5\sqrt5-5\approx6,18 $$

Espero que esta es la respuesta que estabas buscando, yo no lo uso a pesar de cálculo. Creo que se debe utilizar (al menos el concepto de límites) para demostrar que la conjetura, y voy a añadir más tarde.