cómo demostrar que un espacio sigma-compacto es un espacio D

Question

Por favor, ayúdame.

En el documento "Un estudio de los espacios D" por Gary Gruenhage está escrito que se ve fácilmente que $\sigma$ -Los espacios compactos son espacios D.

Por desgracia, no sé cómo mostrarlo. Los espacios considerados son regulares y $T_1$ . Gracias por su ayuda. Karel Pastor

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(Añadido por Asaf) La definición de un espacio D, tomada del resumen del artículo mencionado:

Un espacio $X$ es un espacio D si siempre que se da una vecindad $N(x)$ de $x$ para cada $x \in X$ entonces existe un subconjunto discreto cerrado $D$ de $X$ tal que $\{N(x) \colon x \in D\}$ cubre $X$ .

Answer 1

Creo que esto funciona: elige una familia creciente de conjuntos compactos $K_n$ que cubre $X$ . Debido a la compacidad, una subfamilia finita de $\{N(x);x\in K_0\}$ cubre $K_0$ ; denotan sus "puntos base" por $x^0_0,\ldots,x^0_{n_0}$ . Ahora, por compacidad de nuevo, una subfamilia finita de $\{N(x)\cap K_0^c;x\in K_1\setminus\bigcup_{i=0}^{n_0}N(x^0_i)\}$ cubre $K_1\setminus\bigcup_{i=0}^{n_0}N(x^0_i)$ ; denotan sus puntos base por $x^1_0,\ldots,x^1_{n_1}$ . Continuando de esta manera, obtenemos un conjunto $D=\bigcup_{i=0}^\infty\{x^i_{0},\ldots,x^i_{n_i}\}$ cuyos puntos cubren $X$ .

Ahora elige un punto $x^i_j\in D$ . Usando Hausdorffness, podemos separar $x^i_j$ de todos los puntos de $D\cap K_i$ . Desde que elegimos los puntos $x^k_l, k>i,$ lejos de $N(x^i_j)$ podemos separar $x^i_j$ de los puntos $(D\cap K_i)^c$ . Por lo tanto, $x^i_j$ es un punto aislado en $D$ . Esto demuestra la discreción de $D$ . Casi el mismo argumento muestra que $D$ está cerrado en $X$ .

Answer 2

Aquí va una prueba más sencilla (en mi opinión). Como en la anterior, no hace falta suponer que el espacio es regular, lo deseado se sigue simplemente suponiendo Hausdorff. Obsérvese que, en los espacios que son al menos $T_1$ , $A$ es un subconjunto discreto cerrado si $\{\{x\}: x \in A\}$ es localmente finito. Entonces, tomemos la misma secuencia creciente de subconjuntos compactos, digamos $\{K_n: n < \omega\}$ , de tal manera que $X = \bigcup\limits_{n < \omega} K_n$ . Sea $\langle x\rangle_0$ sea un subconjunto finito de $K_0$ tal que $N[\langle x\rangle_0]$ cubre $K_0$ (donde, por supuesto, $N[\langle x \rangle_0]$ es una abreviatura de $N[\textrm{im}(\langle x \rangle_0)]$ ). Entonces $$\{N(x): x \in K_1 \setminus N[\langle x\rangle_0]\}$$ cubre el conjunto compacto $K_1 \setminus N[\langle x\rangle_0]$ - y este es el punto en el que utilizamos Hausdorffness, para estar seguros de que $K_1$ es un conjunto cerrado, y por tanto $K_1 \setminus N[\langle x\rangle_0]$ es un subconjunto cerrado de un conjunto compacto -, por lo que existe una secuencia finita $\langle x \rangle_1$ de elementos de $K_1 \setminus N[\langle x\rangle_0]$ tal que $N[\langle x \rangle_0\, ^\frown \langle x \rangle_1]$ cubre $K_1$ . Procediendo de forma inductiva, si $j > 1$ existe una secuencia finita $\langle x \rangle_j$ de elementos de $K_j \setminus N[\langle x \rangle_0\, ^\frown \langle x \rangle_1\,\frown \ldots \frown \langle x \rangle_{j -1 }]$ tal que $N[\langle x \rangle_0\, ^\frown \langle x \rangle_1\,\frown \ldots \frown \langle x \rangle_j]$ cubre $K_j$ . Ahora, con todas las secuencias finitas $\langle x \rangle_n$ construido, que $x$ sea la secuencia infinita $$x = \langle x \rangle_0\,\frown\langle x \rangle_1 \frown \ldots \frown \langle x \rangle_n \frown \ldots$$ y tomar $F = im(x)$ . Está claro que $N[F] = X$ . Podemos comprobar que $F$ es cerrado y discreto a la vez: basta con verificar la finitud local de la familia de los singletons. En efecto, es $t \in X$ , dejemos que $$m = \textrm{min}\{j: t \in K_j\}.$$ Por construcción, $V = N[\langle x \rangle_0\, ^\frown \langle x \rangle_1\,\frown \ldots \frown \langle x \rangle_m]$ es una vecindad abierta de $t$ que sólo contiene un número finito de elementos de $F$ .