Es una función continua localmente uniformemente continua?

Question

Asumir una función, $f : X \to Y$, correspondencia entre dos espacios métricos, $X,Y$, es pointwise continua, es decir, por cada $\varepsilon >0$ $x \in X$ existe un $\delta>0$ tal que $$ \|x-x'\|_X < \delta \implica \|f(x) - f(x')\|_Y < \varepsilon , \qquad \forall x \in X. $$

¿Esto implica $f$ es localmente uniformemente continua, es decir, por cada $x \in X$ existe una vecindad $U \subset X$ tal que para cada a $\varepsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que $$ \|x_1-x_2\|_X < \delta \implica \|f(x_1) - f(x_2)\|_Y < \varepsilon , \qquad \forall x_1,x_2 \en la U? $$

Una respuesta positiva sin la prueba, bajo la condición de que $X$ y/o $Y$ son localmente compacto, está implícita aquí.

Answer 1

Deje $I_n = \left(\frac1{n+1}, \frac1{n} \right)$ natural $n$, y deje $X = \{0\} \bigcup_n I_n$. Ahora defina $f : X \to\Bbb R$ por $$ x \mapsto \begin{cases} 0, & \text{ if }x=0\\ \frac1n, & \text{ if } x\in I_n \end{casos} $$ Esta función es continua pero no es localmente uniformemente continua en a $0$.

Answer 2

Si $X$ es localmente compacto, el resultado de la siguiente manera a partir del teorema de Cantor. Si $X$ no es localmente compacto, el resultado no es necesariamente cierto, como Stefan muestra el ejemplo de la.