¿Cuál es la prueba estándar de que $\dim(k^{\mathbb N})$ es incontable?

Question

Esta es mi (tonta) prueba a una afirmación en la parte superior de la p. 54 de "Álgebra homológica" de Rotman.

Para $k$ un campo infinito (el caso finito es trivial) demostrar que $k^\mathbb{N}$ El $k$ -espacio de funciones de los enteros positivos $\mathbb{N}$ a $k$ tiene una dimensión incontable.

Lema. Hay una familia incontable $(A_r)_{r \in \mathbb{R}}$ de casi disjuntos subconjuntos infinitos de $\mathbb{N}$ es decir, $|A_r \cap A_s| < \infty$ para $r \neq s$ .

La prueba es estándar, dejemos $f : \mathbb{Q} \stackrel{\sim}{\to} \mathbb{N}$ y $A_r := \{f(r_1), f(r_2), \ldots\}$ para $(r_j)_{j \in \mathbb{N}}$ una secuencia de racionales distintos cuyo límite es $r$ . Por supuesto, estos deben ser elegidos simultáneamente para todos los $r$ pero cualquier opción servirá.

Ahora la familia $f_r : \mathbb{N} \to k$ , $f_r(x) = 1$ para $x \in A_r$ y $0$ en otro lugar es linealmente independiente, ya que $a_1f_{r_1} + \cdots + a_kf_{r_k} = 0$ rinde $a_1 = 0$ si se aplica a $x \in A_{r_1} \backslash (A_{r_2} \cup \cdots \cup A_{r_k})$ etc.

Curiosamente, esto demuestra que $\dim(k^\mathbb{N}) \ge |\mathbb{R}|$ que es "un poco más". Me gustaría ver el folclore trivial "argumento de una línea", ya que no recuerdo haber aprendido sobre él.

Gracias de antemano. También, saludos a stackexchange (siendo este mi primer tema aquí).

Answer 1

Un argumento que utiliza un teorema mucho más difícil (el tipo de prueba de matar mosquitos con bombas de racimo):

$k^\mathbb N$ es el dual algebraico de los polinomios en una variable, $k[x]$ que tiene una dimensión contable. Si $k^\mathbb N$ tenía una base contable entonces $k[x]$ sería isomorfo a su dual, y como esto no puede ser concluimos que $k^\mathbb N$ tiene una base de tamaño incontable.

Los argumentos dados en La respuesta de Arturo demostrar que lo anterior es efectivamente una prueba (en particular Lema 2 con $\kappa=\aleph_0$ ).