Otro problema que ya desperdicié horas. Dado $$ 4\sinθ + 3\cosθ = 5$ $
Encontrar
$$ 4\cosθ-3\sinθ$ $
Ayudenme chicos (PS: no soy bueno en matemáticas)
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Farkhod Gaziev
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6
SUGERENCIA:
usando la identidad de Brahmagupta-Fibonacci
$$(4\sin\theta+3\cos\theta)^2+(4\cos\theta-3\sin\theta)^2=(4^2+3^2)(\sin^2\theta+\cos^2\theta)$$
Otro enfoque:
Reescribir $$ \begin{align} 4\sin\theta +3\cos\theta &= 5\\ 4\sin\theta&=5-3\cos\theta.\tag1 \end{align} $$ Cuadrado $(1)$, de los rendimientos $$ 16\sin^2\theta=25-30\cos\theta+9\cos^2\theta.\tag2 $$ El uso de identidad $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ y sustituir a $(2)$. $$ \begin{align} 16(1-\cos^2\theta)&=25-30\cos\theta+9\cos^2\theta\\ 25\cos^2\theta-30\cos\theta+9&=0\\ (5\cos\theta-3)^2&=0\\ \cos\theta&=\frac35. \end{align} $$ En consecuencia, $\sin\theta=\dfrac45$. Por lo tanto, $$ 4\cos\theta-3\sin\theta=4\left(\frac35\right)-3\left(\frac45\right)=\Large\color{blue}0. $$
Floris
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290
He aprendido de otra manera en la Escuela secundaria (en países Bajos).
$$4 \sin\theta + 3 \cos \theta = 5$$
Puede ser pensado como un producto escalar de vectores:
$$\binom{\cos\theta}{\sin\theta}\cdot\binom{3}{4}=5$$
Otra forma de escribir un producto escalar es $$\sqrt{\sin^2\theta+\cos^2\theta}\cdot\sqrt{4^2+3^2}\cdot \cos\phi = 5$$
donde $\phi$ es el ángulo entre los dos vectores que componen el producto escalar.
Esto se simplifica a $$\cos\phi=1$$
Por lo que $\phi=0$ o $\phi=\pi$.
Por lo tanto sabemos que el vector $\binom{\cos\theta}{\sin\theta}$ es paralela a, o en la dirección opuesta, $\binom{3}{4}$. En otras palabras, podemos escribir$$\tan\theta=\frac43$$
a partir de la cual se deduce que$$\theta = \arctan\left(\frac43\right) \mod \pi$$
Obviamente, esto funciona para los casos donde $\phi\ne0$ - sólo incluye lo que $\phi$ es.
rlpowell
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126
Si usted reconoce la relación de Pitágoras $3^2+4^2=5^2$, entonces la ecuación
$${4\over5}\sin\theta+{3\over5}\cos\theta=1$$
se satisface si $\sin\theta={4\over5}$ y $\cos\theta={3\over5}$, lo que hace que
$$4\cos\theta-3\sin\theta=4\cdot{3\over5}-3\cdot{4\over5}=0$$
No es obvio que este método produce la única respuesta posible, pero un poco de reflexión muestra que se hace. (Para una cosa, el enunciado del problema sugiere que la respuesta es única.)
Tom Collinge
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2672
El 3, 4, 5 tal vez debería hacer pensar de un ángulo recto del triángulo con lados de 3, 4, 5.
Expresar los senos y cosenos en términos de cocientes de los lados de un triángulo h (hipotenusa), o (opuesto) y un (adyacentes), por lo que $\sin(\theta) = o/h$ y $\cos(\theta) = a/h$, a continuación, la condición dada es que $4.o/h + 3.a/h = 5$.
Por esta observación es satisfecho por $o = 4; a=3; h=5$, por lo que $\sin(\theta) = 4/5$ y $\cos(\theta) = 3/5$.
Enchufe ahora esta en su segunda expresión, de modo que $4\cos(\theta) - 3\sin(\theta) = 12/5 - 12/5 = 0$
