Deje $f$ ser un no-negativo de la disminución de la función en $[1,+\infty)$. Demostrar que la serie $$\sum_{n=1}^\infty \left[f(n)-\int_n^{n+1}\!f(x)\,\text{d}x\right]$$ converge.
Respuesta
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De acuerdo a MathWorld, esto se llama MacLaurin-Teorema de Cauchy. Una prueba se puede encontrar, por ejemplo, en Burkill el libro de Un Primer Curso de Análisis Matemático. Es relativa a la (generalizada) de Euler-Mascheroni constante. Véase también la prueba en el artículo de la Wikipedia sobre la Integral de la prueba para la convergencia. La imagen de este artículo (que he copiado más adelante) puede ayudar a su intuición, cuando se intenta demostrar este resultado.
Para encontrar más cosas útiles busca de MacLaurin de Cauchy teorema o de MacLaurin de Cauchy de la prueba, ahora que usted sabe el nombre de el resultado.
