Suma y producto de números racionales es la unidad

Question

Considere el sistema de ecuaciones:

$$\sum_{i=1}^n X_i = 1$$

$$\prod_{i=1}^n X_i = 1$$

Es bastante simple para mostrar que, para $n\ge 4$, este sistema admite una solución racional $(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{Q}^n$.

Basta encontrar una solución para $n=4,5,6,7$ y para los grandes valores de $n$ soluciones pueden obtenerse añadiendo $(-1,-1,1,1)$ a una solución para $n-4$.

Para $n=2$, no hay soluciones racionales. Estoy bastante seguro de la existencia de soluciones racionales para $n=3$ es un problema abierto, pero no puedo encontrar cualquier discusión de la misma, en gran parte debido a su difícil búsqueda.

Es este un llamado problema? Un problema resuelto? Puede que nadie me dirija a cualquier trabajo que se haya hecho en ella?

Answer 1

Para $n=3$, teniendo en $x_3 = 1 - x_1 - x_2$ tenemos
$-1 + x_1 x_2 - x_1 x_2^2 - x_1^2 x_2 = 0$. Esta es una curva elíptica con forma de Weierstrass $s^3+(23/48)s-181/864+t^2$, según Arce. Pienso que debería ser un número finito de la computación (no sé cómo hacerlo) para encontrar los generadores de los puntos racionales.

EDIT: Bueno, al parecer este es un problema sin resolver en general. Pero a menos de que he cometido un error, Sage me dice que el solo de puntos racionales en la forma de Weierstrass se $(s,t) = (-1/12, \pm 1/2)$, que corresponden a los puntos en $\infty$ $x_1,x_2$ formulario), por lo que no hay soluciones racionales en el caso de $n=3$.

sage:  E = EllipticCurve([23/48,181/864])
sage:  E.torsion_subgroup()
 Torsion Subgroup isomorphic to Z/3 associated to the Elliptic Curve
 defined by y^2 = x^3 + 23/48*x + 181/864 over Rational Field
sage:  E.torsion_subgroup().gens()
 ((1/12 : 1/2 : 1),)
sage:  E.rank()
  0

EDIT: Para $n=4$, teniendo en $x_4 = 1 - x_1 - x_2 - x_3$$x_3 = 3/2$, la curva elíptica para $x_1$ $x_2$ rango $1$. Por lo tanto, hay infinitamente muchas soluciones racionales para$n=4$$x_3 = 3/2$, incluyendo $ \left[-\frac13,\frac43,\frac32,-\frac32\right]$ y $ \left[-\frac{289}{210}, \frac{150}{119}, \frac{3}{2}, -\frac{98}{255}\right]$.

Te agradecería la confirmación de curva elíptica expertos que estoy usando Sage correctamente.