La prueba de que $X$ contráctiles $\iff \forall f:X \rightarrow Y$ : $f \cong const.$

Question

Estoy leyendo Hatcher y yo hicimos el ejercicio 10 de la página 19. Me pueden decir si mi respuesta es correcta? Muchas gracias por tu ayuda!

Reclamo: $X$ contráctiles $\Leftrightarrow \forall$ arbitrarias mapas $f:X \rightarrow Y$, $Y$ arbitraria, $f \cong const.$

Prueba:

$\implies$

Dada la homotopy $H: I \times X \rightarrow X$, $H(0,x) = id_X$, $H(1,x) = id_{ \{ \ast \}}$ y un mapa arbitrario $f: X  \rightarrow Y$ construir un homotopy $H^\prime: I \times X \rightarrow Y$, $H^\prime(0,x) = f(x)$, $H^\prime(1,x)=const_{y_0 \in Y}$ de la siguiente manera:

$H^\prime (t,x) := f(H(t,x))$.

Tenga en cuenta que aunque no se menciona en el ejercicio, $f$ se supone que ser continua. (Al menos creo que ese es el caso)

$\impliedby$

Dado $\forall f:X \rightarrow Y$: $f \cong const.$ recogemos $Y := X$ $f:X \rightarrow X$ $\cong const_{x_0} \forall f$. Ahora coger $f := id_X$.

Segunda parte de la pregunta:

Reclamo: $X$ contráctiles $\iff \forall f: Y \rightarrow X$: $f \cong const_X$

Prueba:

$\implies$

Definir $H^\prime(t,x) := H(t, f(x))$.

$\impliedby$

Elija $Y:=X$$f:=id_X$.

Answer 1

Esto se ve, básicamente, a la derecha, a pesar de ser quisquilloso podría argumentar que debería escribir que $H(0,-)=id_X$ $H(1,-)=const._*$ (tanto como los mapas de $X\rightarrow X$) o que usted debe de escribir que $H(0,x)=x$ $H(1,x)=*$ todos los $x\in X$.

También, creo que puedo decir con confianza que puede asumir cada mapa en cualquier topología libro se supone que ser continua. Del mismo modo, cualquier función de los grupos, en general puede ser asumida como un homomorphism, etc. La forma elegante de decir esto es que estamos trabajando en la categoría de espacios topológicos, cuyos morfismos son continuos los mapas.