Continua derecho derivado de la diferenciabilidad implica

Question

Un libro mío dice lo siguiente es cierto, y estoy teniendo algunos problemas para probarlo. (He considerado el uso de la diferenciación de Lebesgue y teorema de la continuidad absoluta, así como de primaria de los métodos de análisis.)

Deje $f: [0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ ser continua y tener derecho de derivados en cada punto del dominio, con el derecho derivado de la función continua. A continuación, $f$ es diferenciable.

Answer 1

Nos deja denotar el derecho derivado de la $f$$g$.

Lema: Dado $a<b$ $m\le M$ si $m\le g\le M$$[a,b]$, $$m\le\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\le M.$$

Prueba: Definir $$L(a)=g(a)\quad\text{and}\quad L(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a},\ x\in(a,b].$$ Por definición, $L$ es continua en a $[a,b]$, y esto es suficiente para mostrar que para cada $\delta>0$, $$E_\delta:=\Big\{x\in[a,b]\,\Big|\, m-\delta\le L(y)\le M+\delta, \forall y\in[a,x] \Big\}=[a,b].$$ Por definición, y la continuidad de $L$, sabemos que $E_\delta=[a,c]$ algunos $c\in[a,b]$, y de $m\le g(a)\le M$ sabemos $c>a$. Luego de $c\in E_\delta $ $m\le g(c)\le M$ es fácil ver que $c<b$ es imposible. Por lo tanto, $c=b$ y el lema de la siguiente manera. $\quad\square$

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Ahora vamos a mostrar que $f$ es diferenciable para cualquier $x>0$. Desde $g$ es continua, dado $0<h<x$, podemos definir $$m_h=\min_{y\in[x-h,x]}g(y),\quad M_h=\max_{y\in[x-h,x]}g(y),$$ y sabemos que $$\lim_{h\to 0^+}m_h=\lim_{h\to 0^+}M_h=g(y).$$ Debido a la lema, para $a=x-h$, $b=x$, $m=m_h$ y $M=M_h$, tenemos $$m_h\le\frac{f(x-h)-f(x)}{-h}\le M_h.$$ Deje $h\to 0^+$, se deduce que la izquierda derivado de la $f$ $x$ existe y es igual a $g(x)$, es decir, $f$ es diferenciable en $x$. $\quad\square$