Deje $(R,m)$ ser un D. V. R con el campo de la fracción $K$ $L$ cualquier finito algebraica de extensión de campo de $K$. Supongamos $\bar{R}$ es la integral de cierre de $R$$L$. Entonces es bien sabido que $\bar{R}$ es un dominio de Dedekind y para cualquier valor distinto de cero ideal $J$ $\bar{R}$ el anillo de $\bar{R}/J$ es finita $R$-módulo. Mi pregunta es si $\bar{R}$ es en sí mismo un finito $R$ módulo. Si $L$ es separable sobre $K$ o $(R,m)$ es esencialmente finita sobre un campo, entonces la respuesta es afirmativa. Creo que en general no es cierto. Pero no estoy recibiendo ninguna de fácil contra-ejemplo.
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Bryan Roth
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Tienes razón: $\overline{R}$ no se necesita ser un finitely generadas $R$-módulo. Al mejor de mi conocimiento, ninguno de los contraejemplos son "fáciles". Aquí es la dada por Kaplansky en su texto Conmutativa Anillos (cito textualmente):
Teorema de 100: Vamos a $k$ ser un campo de característica $2$, e $T = k[[x]]$, el poder de la serie de anillo en una indeterminada. Con $u \in T$, vamos a $K = k(x,u^2)$ $L = k(x,u)$ (campo de contigüidad), $R = T \cap K$, $S = T \cap L$. Entonces $[L:K] \leq 2$, $R$ y $S$ son discretos valoración de los anillos con el cociente de los campos de $K$$L$, e $S$ es la integral de cierre de $R$$L$. Si $[L:K] = 2$, $S$ no es un finitely generadas $R$-módulo.
Él va a la observación de cómo la hipótesis de $[L:K] = 2$ puede ser garantizada, y luego se da la prueba, que lleva casi una página. Para lo que vale, tengo la intención de este contraejemplo (o igual) a estar en mi álgebra conmutativa notas (en la sección de "Normalización Teoremas"), pero no está allí todavía.
Paul
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34
Ejemplo (O. Zariski?):
Considere la función racional campo $k(x)$ sobre un campo $k$ de los característicos $p>0$.
La extensión de campo $k((x))/k(x)$ es trascendental; deje $\alpha\in k[[x]]$ ser trascendental y deje $y:=\alpha^p$. A continuación, $L:=k(x,\alpha )$ es puramente inseparable la extensión de $K:=k(x,y)$.
La discreta valoración anillo de $B:=k[[x]]\cap L$ es la integral el cierre de la discreta valoración anillo de $A:=k[[x]]\cap K$ $x$ es un primer elemento de $A$.
Para cada $n\in\mathbb{N}$ el elemento $y$ puede ser escrito como
$ y=f_n^p + x^{pn}y_n , f_n\en k[x], y_n\en k[[x]]. $
(Para ver esto en cuenta el poder de la serie: $\alpha =c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+\ldots$ por lo tanto $y =c_0^p+c_1^px^p+c_2^px^{2p}+c_3^px^{3p}+\ldots$.)
A continuación, $y_n\in A$ y se obtiene:
$ y_n^{1/p} =x^{-n}(-f_n+\alpha )\;\; (*). $
Ahora si $B$ eran de un número finito de $A$-módulo uno podría encontrar $d\in A\setminus 0$ tal que
$ dB\subseteq a+a\alpha +\alpha^2 +\ldots +\alpha^{p-1}=:R. $
En particular,$d y_n^{1/p}\in R$, que el uso de (*) los rendimientos que $d$ es divisible por $x^n$ para cada $n$. (Tenga en cuenta que $1, \alpha ,\ldots ,\alpha^{p-1}$ son linealmente independientes más de $K$.)
