el fin de "truncado" trenza de grupos

Question

Considere la posibilidad de la trenza de grupo n hebras dado en el habitual Artin presentación. A continuación, añadir las relaciones: cada Artin generador es de orden d. Por ejemplo, si d=2, uno recupera el grupo simétrico. Me gustaría saber cuál es el orden del grupo es arbitrario n y d. Saber el nombre de estos grupos sería útil, aunque, como mis intentos para determinar mediante la búsqueda en la literatura han fracasado hasta la fecha.

Answer 1

Vamos a considerar sólo la 2-generador de la trenza de grupo, con el agregado de las relaciones $a^d=b^d=1$. Un equipo coset enumeración muestra que este es finito de orden 6, 24, 96, y 600 para $d=2,3,4,5$.

Si se añade ahora el extra de la relación de $(ab)^3=1$, dando

$G_d = \langle a,b \mid aba=bab, (ab)^3 = a^d = b^d = 1 \rangle.$

y realizar una rutina de cambio de generador de cálculo con $x=ab$, $y=xa=aba$ el uso de Tietze transformaciones, entonces tenemos la presentación

$\langle x,y \mid x^3 = y^2 = (xy)^d = 1 \rangle,$

un triángulo grupo, que es bien conocido para ser infinita para $d \ge 6$. Así que el 2-generador de la trenza de grupo con el agregado de las relaciones es también infinita para $d \ge 6$.

Con $d=3$, el 3 - y 4-generador de grupos finitos de orden 648 y 155520. Sospecho que el resto de los casos son infinitos, pero no me sabe a ciencia cierta.

Esta sería también una pregunta razonable para preguntar sobre MathOverflow.

Answer 2

Yo quisiera añadir lo que es casi una respuesta completa que se describe en el libro

K. Murasugi & B. Kurpita, Un Estudio de Trenzas, Kluwer Academic Publishers, 1999.

La siguiente sorprendente teorema nos dice que cuando el truncado de la trenza grupos son finitos, y el orden de los grupos cuando son.

Teorema: Vamos A $B_n(d)=B_n/\langle\sigma_i^d \rangle$. El grupo $B_n(d)$ es finito si y sólo si $d=2$ o $(n,d)$ es el tipo de uno de los 5 sólidos platónicos. Para estos casos, $$|B_n(d)|=\left(\frac{f(n,d)}{2}\right)^{n-1}n!$$ where $f(n,d)$ is the number of faces of the platonic solid of type $(n,d)$

Los 5 sólidos platónicos corresponden a los pares de $(n,d)\in\{(3,3),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3)\}$. Esto es equivalente a la par $(n,d)$ ser una solución para la desigualdad de $$\frac{1}{n}+\frac{1}{d}>\frac{1}{2}.$$

Para facilitar el cálculo, se tiene la siguiente tabla de dar el número de caras de la correspondiente sólidos platónicos $$\begin{array}{|r|l|}\hline (n,d)&f(n,d)\\\hline (3,3)&4\\ (3,4)&8\\ (4,3)&6\\ (3,5)&20\\ (5,3)&12\\\hline \end{array}$$ y así podemos calcular la tabla de órdenes del grupo $$\begin{array}{|r|l|}\hline (n,d)&|B_n(d)|\\\hline (3,3)&24\\ (3,4)&96\\ (4,3)&648\\ (3,5)&600\\ (5,3)&155520\\\hline \end{array}$$

Para mí, este teorema y su aplicación, pone de relieve uno de los más extraños vínculos entre los dos bastante débilmente relacionadas con las áreas de las matemáticas; grupos finitos derivadas de topológico o combinatoria (escoja favorito descripción de la trenza de grupos de la disco) consideraciones, y la clasificación geométrica de sólidos regulares en $\mathbb{R}^3$.