$\Int_0^1\frac{\log(x)\log^2(1-x)\log^2(1+x) integral} {x} \mathrm dx$

Question

Decidí seguir una tendencia y una pregunta sobre integrales logarítmicas :)

¿Hay una forma cerrada para esta integral? $$\int_0^1\frac{\log(x)\log^2(1-x)\log^2(1+x)} {x} \mathrm dx$ $

Answer 1

Esta integral es igual a $$ -4\big( \zeta(-3,-1,-1,-1) +\zeta(-3,-1,1,-1) +\zeta(-3,1,-1,1) +\zeta(3,-1,-1,-1) +\zeta(3,-1,1,-1) +\zeta(3,1,-1,1) \big) $$ en términos de los múltiples zeta función, que también puede ser simplificado para $$ 2\zeta(-5,-1)-2\zeta(-5,1)+2\zeta(5,-1)+{\estilo de texto\frac32}\zeta(5,1)+4\zeta(-3,1,1,1), $$ de los cuales sólo $$ \begin{aligned} \zeta(5,1) &= {\estilo de texto\frac34}\zeta(6)-{\estilo de texto\frac12}\zeta(3)^2 \\ \zeta(5,-1) y= {\estilo de texto\frac{111}{64}} \zeta (6)-{\estilo de texto\frac{9}{32}} \zeta (3)^2-{\estilo de texto\frac{31}{16}} \zeta (5) \log (2) \end{aligned} $$ tienen una forma cerrada (ver también este artículo acerca de Euler sumas de dinero, y también de Euler Sumas y Contorno Integral Representaciones por Philippe Flajolet y Bruno Salvy).