Tanto en la célula compleja, $C$, y el doble de células complejas $C'$ son refinados por la primera subdivisión baricéntrica $BC$. Hay mapas de $C \to BC$$C' \to BC$, el envío de una celda $\sigma$ a la suma de todas las celdas de la misma dimensión contenida en $\sigma$; estos mapas son tanto cuasi-isomorphisms.
Así que, si me permiten formalmente invertir cuasi-isomorphisms, estoy hecho.
Es la cuestión de si es un honesto mapa de los complejos de la cadena entre el$C$$C'$, sin subdividir?
ACTUALIZACIÓN Aquí es algo que se puede hacer, y algo que no puedes hacer.
Con $C$ $BC$ como en el anterior, y $r : C \to BC$ el refinamiento del mapa, hay un homotopy inverso $s: BC \to C$. (Más precisamente, $C \to BC \to C$ es la identidad, y $BC \to C \to BC$ es homotópica a la identidad.) Trabajando el mismo truco con $r' : C' \to BC$, obtenemos cuasi-isomorphisms entre el $C$ $C'$ cuales son homotopy inverso el uno al otro. Como se verá, sin embargo, esta construcción es muy nongeometric y poco elegante.
Construcción: Vamos a $q:BC \to Q$ ser el cokernel de $C \to BC$. Un sencillo cálculo, se comprueba que cada una de las $Q_i$ es gratis. Desde $C \to BC$ es un cuasi-isomorfismo, $Q$ es exacta. Exacto complejo de libre $\mathbb{Z}$ módulos debe ser isomorfo a una suma directa de los complejos de la forma $\cdots \to 0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to 0 \to \cdots$. Elegir una descomposición de la $Q$, lo $Q_i = A_{i+1} \oplus A_{i}$ y el mapa de $Q_i \to Q_{i-1}$ es la proyección en $A_{i}$.
Ahora, considere el mapa de $q_i^{-1}(A_i) \to A_i$ grado $i$. Este es surjective, y $A_i$ es gratis, así que elige una sección de $p^1_i$. También podemos definir un mapa de $p^2_i$ de la $A_{i+1}$ sumando de a$Q_{i}$$BC_i$$p^2_i = d p^1_{i+1} d^{-1}$. De esta manera, podemos obtener mapas de $p_i = p^1_i \oplus p^2_i: Q_{i} \to BC_i$ que dan un mapa de los complejos de la cadena.
Tomamos nota de que $qp: Q \to Q$ es la identidad. Por lo tanto, $1-pq$, un mapa de $BC \to BC$, las tierras en el subcomplejo $C$ y da a una sección de $s:BC \to C$. La prueba de la afirmación acerca de homotopies será proporcionada en la solicitud.
Por otro lado, aquí es algo que no puedes hacer: Obtener la cuasi-isomorfismo respecto a las simetrías de su espacio original. Por ejemplo, supongamos $C$ ser el complejo de cadena del cubo, y $C'$ el complejo de cadena del octaedro. Me dicen que no hay cuasi-isomorfismo $C \to C'$ que viajes con el grupo $S_4$ de la orientación de la preservación de las simetrías.
Considere lo que sucedería en el grado $0$. Un vértice del cubo debe ser enviado a alguna combinación lineal de los vértices del octaedro. Por simetría, se debe establecer a
$$a (\mbox{sum of the "near" vertices}) + b (\mbox{sum of the "far" vertices})$$
para algunos enteros $a$$b$. Pero, a continuación, el mapa de la $H_0$ es la multiplicación por $3(a+b)$, y no puede ser $1$.
Me imagino que quieres algo más fuerte, a continuación, mi primera respuesta, pero más débil que la segunda. No estoy seguro de lo que él, sin embargo.
