Jean Zinn-Justin tiene un gran camino de camino de la enseñanza integral de las técnicas de comenzar con finito de dimensiones variables aleatorias (a veces llamado "0-dimensional de los campos"). Aquí, usted debe pensar en estos como discretos celosía aproximaciones a la continua campos. En el espíritu de Zinn-Justin, voy a describir cómo se lleva a cabo para la 1D libre de partículas del sistema que se describen anteriormente.
Suponiendo que $q(t)$ desaparece en el infinito del pasado y del futuro infinito, su Lagrange $L[q]=\int dt\frac{1}{2}m\dot q^2(t)$ puede ser reescrita como $\int dt\big[-\frac{1}{2}m q \ddot q\big]$, usando integración por partes. En esta notación, se puede pensar en esto como un bilineal $\int dt\big[\frac{1}{2}mq(t)(-\partial_t^2)q(t)\big]=\frac{1}{2}m\langle q,-\partial_t^2q\rangle=\frac{1}{2}q^T A q$. La última expresión, se utiliza la notación de finito dimensionales de álgebra lineal para temporalmente desmitificar algunos de los pasos. Aquí, $A$ es considerado como un tipo de matriz de realización de la lineal operador $-m\partial_t^2$. También podemos suponer que $A=A^T$.
La forma de derivar la expresión explícita para la generación funcional $Z[J]$ es por completar el cuadrado en la ruta integral, la realización de un cambio lineal de variables. Para ello, debemos utilizar alguna noción de la inversa de $A$:
\begin{align*}
\int \mathcal D q \exp\bigg[-\frac{1}{2}q^TAq - J\cdot q\bigg]=&\int\mathcal D q\exp\bigg[-\frac{1}{2}(q+A^{-1}J)^TA(q+A^{-1}J)+\frac{1}{2}J^TA^{-1}J\bigg]\\
=&\int\mathcal Dq\exp\bigg[-\frac{1}{2}q^T A q\bigg]\exp\bigg[\frac{1}{2}J^TA^{-1}J\bigg]\\
=& Z_0\exp\bigg[\frac{1}{2}J^TA^{-1}J^T\bigg].
\end{align*}
Para completar la derivación, tenemos que resolver (y elegir un convenio) por $A^{-1}$, lo que se llama la función de Green. Esto es complicado en general, debido a la existencia de funciones armónicas $f$ que satisfacer $Af=0$ ($A=-m\partial_t^2$ tiene un no-trivial núcleo, que consiste en la constante y funciones de la deriva del término). Físicamente, se pueden interpretar estos armónico de las funciones más general que la radiación de las fuentes ubicadas en el pasado distante (o menos físicamente, en el futuro lejano), y conducen a la distinción entre avanzados y retrasados Verde funciones. En general, es convencional para elegir el armónico parte de la función de Green para que las condiciones de contorno son fácilmente satisfechos con linealmente independientes combinaciones de la función de Green. Por ejemplo, el retraso Verde de la función está determinada por la relación de causalidad condición de que se desvanecen en el pasado distante.
Naturalmente, el espacio permitido de $J$s'es restringido para el dominio en el que $A^{-1}$ tiene sentido. En la práctica, el $J$'s de satisfacer las leyes de conservación, y debe caries suficientemente rápida en las fronteras.
En un nivel puramente formal, informática funcionales derivados con respecto a $J$ $Z[J]$ es exactamente análogo al cálculo de derivadas parciales con respecto a $\vec J$ de algunos discreto finito dimensionales aproximación a la función de partición: en el ámbito económico finito dimensionales de notación, $\frac{1}{Z_0}\frac{\delta^2}{\delta J_1 \delta J_2}Z[ J]\Big|_{J=0}:= \frac{\delta^2}{\delta J_1 \delta J_2}\exp\Big[\frac{1}{2}J_i A_{ij}^{-1}J_j\Big]\Big|_{J=0}=\frac{\delta}{\delta J_1}\frac{1}{2}(J_iA_{i2}^{-1}+A_{2i}^{-1}J_i)\exp(\frac{1}{2}J_iA_{ij}^{-1}J_j)\Big|_{J=0}=\frac{1}{2}(A_{12}^{-1}+A_{21}^{-1})\exp(\frac{1}{2}J_iA_{ij}J_j)\Big|_{J=0}+\mathcal O (J^2)\Big|_{J=0}=A_{12}^{-1}=:G(\tau_1,\tau_2)$.
La función de Green se puede ver como una escuela primaria de la solución de la no homogénea versión de una ecuación diferencial lineal. Los 2 puntos de la función de correlación en su ejemplo, pasa a ser una función de Green para la 1D ecuación de difusión, pero hay una cierta cantidad de libertad para decidir sobre la función de Green en función del número de armónica independiente modos. Incluso la función de correlación depende de cómo el espacio de los campos que está integrada se define. Una forma común para elegir una función de Green es la imposición de fuga de las condiciones de contorno. Para el movimiento Browniano, la elección de las condiciones de contorno pueden ser interpretadas como una opción de marco de referencia.
Ahora un ejemplo claro. Considere la posibilidad de una fluctuación elástica 'cadena' con $q(0)=q(L)=0$. Para encontrar la función de correlación, lo primero que elegir una base adecuada para la descripción de las fluctuaciones: aquí, podemos ampliar las configuraciones $q(s)$ en los modos de Fourier $S_n(s)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{n\pi s}{L})$ donde $n\in\mathbb N$. En base a esto, el operador $-\partial_s^2$ actúa como $-\partial_s^2 S_n(s)=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2S_n(s)$. Por lo tanto, puede ser invertida por definir $(-\partial_s^2)^{-1} S_n(s)=\frac{L^2}{\pi^2n^2}S_n(s)$, que se extiende por la linealidad. Para encontrar la integral del núcleo de la representación de $(-\partial_s^2)^{-1}$ en la posición del espacio, necesitamos evaluar
\begin{align*}
\sum_{n\geq 1} \frac{L^2}{\pi^2n^2}S_n(s')S_n(s)=-\frac{L}{\pi^2}\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^2}\bigg[\cos(\frac{\pi n}{L}(s+s'))-\cos(\frac{\pi n}{L}(s-s'))\bigg]
\end{align*}
En el límite de un gran $L$, la suma de $n$ puede ser sustituida por una integral sobre la $\omega\equiv\frac{\pi n}{L}$:
\begin{align*}
G(s,s')= -\int_{\frac{\pi}{L}}^\infty\frac{d\omega}{\pi}\frac{1}{\omega^2}\bigg[\cos(\omega(s+s'))-\cos(\omega(s-s'))\bigg]
\end{align*}
Esta integral se puede realizar, en general, por la toma de las medidas de los límites de la suma de las integrales de contorno (donde la suma de integrands, restringido a la línea real, deben acercarse a la función original de $\frac{1-\cos(x)}{x^2}$). Aquí, una secuencia válida de las aproximaciones es
\begin{align*}
G_\epsilon(s,s')=-\int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2\pi}\frac{1}{\omega^2+\epsilon}\bigg[\cos(\omega(s+s'))-\cos(\omega(s-s'))\bigg],\quad \epsilon\rightarrow 0^+.
\end{align*}
Para realizar el contorno de las integrales, la función anterior se puede dividir en positivo y negativo de la frecuencia de las partes, la cual tiene polos en $\omega=\pm i\epsilon$. El resultado de la limitación de la integración al $s \geq s'$ $G(s,s')=s'$ o, en general, $G(s,s')=\min(s,s')$ a partir de la simetría entre las $s$ $s'$ en este caso (y también desde $s$ $s'$ son positivas). [Tenga en cuenta que este resultado es válido en el límite de $L$ enfoques infinito. Cerca del límite opuesto, una fórmula similar para $G(s,s')$ mantiene, excepto con $s\mapsto L-s$.]
