El siguiente me lo explicó Jean-Pierre Ferrier, y Ahmed Jeddi hecho comentarios muy útiles.
Para cualquier matriz$a$$A:=M_n(\mathbb C)$, escribir $\Lambda(a)$ para el conjunto de autovalores de a $a$. Para cada una de las $\lambda$$\Lambda(a)$, escribir $1_\lambda\in\mathbb C[a]$ para el proyector en el $\lambda$-generalizada espacio propio en paralelo a la otra generalizado subespacios propios, y poner $a_\lambda:=a1_\lambda$, e $z_\lambda:=z1_\lambda$$z$$\mathbb C$.
Deje $U$ ser un subconjunto de a $\mathbb C$, vamos a $U'$ ser el subconjunto de $A$, que es abierto por el Teorema de Rouché, definido por la condición $\Lambda(a)\subset U$, vamos a $a$$U'$, vamos a $X$ ser indeterminado, vamos a $\mathcal O(U)$ $\mathbb C$- álgebra de holomorphic funciones en $U$, y equipar $\mathcal O(U)$ $\mathbb C[a]$ $\mathbb C[X]$- álgebra estructuras asociadas, respectivamente, con el elemento $z\mapsto z$ $\mathcal O(U)$ y el elemento $a$$\mathbb C[a]$.
Teorema 1. (i) no Hay una única $\mathbb C[X]$-álgebra de morfismos de$\mathcal O(U)$$\mathbb C[a]$. Denotamos este morfismos por $f\mapsto f(a)$.
(ii) El mapa de $U'\ni a\mapsto f(a)\in A$ es holomorphic.
(iii) Para cualquier $a$ $U'$ hemos
$$
f(a)=\sum_{\lambda\en\Lambda(a),0\le k<n}\frac{f^{(k)}(\lambda)_\lambda}{k!}\ (a-\lambda)^k.
$$
La prueba de (i) y (iii). Por el Teorema del Resto Chino, $\mathbb C[a]$ es isomorfo al producto de $\mathbb C[X]$-álgebras de la forma$\mathbb C[X]/(X-\lambda)^m$,$\lambda\in\mathbb C$. Así, podemos asumir que el $\mathbb C[a]$ es de esta forma, y el lema se sigue del hecho de que, para $f$$\mathcal O(U)$, no es único, $g$ $\mathcal O(U)$ tal que
$$
f(z)=\sum_{k=0}^{m-1}\ \frac{f^{(k)}(\lambda)}{k!}\ (z-\lambda)^k+(z-\lambda)^mg(z)
$$
para todos los $z$$U$. q.e.d.
Decir que un ciclo es una forma finita suma de suaves curvas cerradas. Deje $\gamma$ ser un ciclo en $U\setminus\Lambda(a)$ tal que $I(\gamma,\lambda)=1$ todos los $\lambda\in\Lambda(a)$ (donde $I(\gamma,\lambda)$ es la liquidación número de $\gamma$$\lambda$), y deje $N$ el conjunto de los $b$ $A$ tal que $\Lambda(b)\subset U$, $\gamma$ es un ciclo en $U\setminus\Lambda(b)$ satisfacción $I(\gamma,\lambda)=1$ todos los $\lambda\in\Lambda(b)$. Como ya se ha señalado, el Teorema de Rouché implica que $N$ es una vecindad de a$a$$A$. Teorema 2 a continuación se implica en la Parte (ii) del Teorema 1.
Teorema 2. Tenemos
$$
f(b)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\ \frac{f(z)}{z-b}\ dz
$$
para todos los $f$ $\mathcal O(U)$ y todos los $b$$N$. En particular, el mapa de $b\mapsto f(b)$ $U'$ $A$es holomorphic.
Prueba. Tenemos
$$
\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\ \frac{f(z)}{z-b}\ dz
$$
$$
=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\ \frac{f(z)}{z-b}\ \sum_{\lambda\en\Lambda(b)}1_\lambda\ dz
$$
$$
=\sum_{\lambda\en\Lambda(b)}\frac{1_\lambda}{2\pi i}\int_\gamma\ \frac{f(z)}{z-b}\ dz
$$
$$
=\sum_{\lambda\en\Lambda(b)}\frac{1_\lambda}{2\pi i}\int_\gamma\ \frac{f(z)\ dz}{(z-\lambda)-(b-\lambda)}
$$
$$
=\sum_{\lambda\en\Lambda(b)}\frac{1_\lambda}{2\pi i}\int_\gamma\ f(z)\ \sum_{k=0}^{n-1}\
\frac{(b-\lambda)^k}{(z-\lambda)^{k+1}}\ dz
$$
$$
=\sum_{\lambda\en\Lambda(b),0\le k<n}\frac{1_\lambda}{2\pi i}\int_\gamma\ \frac{f(z)\ dz}{(z-\lambda)^{k+1}}\ (b-\lambda)^k
$$
$$
\desbordado{(*)}{=}\sum_{\lambda\en\Lambda(b),0\le k<n}I(\gamma\lambda)\ \frac{f^{(k)}(\lambda)_\lambda}{k!}\ (b-\lambda)^k
$$
$$
=\sum_{\lambda\en\Lambda(b),0\le k<n}\frac{f^{(k)}(\lambda)_\lambda}{k!}\ (b-\lambda)^k
$$
$$
\desbordado{(**)}{=}f(b),
$$
donde la Igualdad $(*)$ se sigue del Teorema de los Residuos, y la Igualdad de $(**)$ de la Parte (iii) del Teorema 1. q.e.d.
