¿Por qué la ecuación del calor no es tiempo-reversible? (Flecha del tiempo en matemáticas)

Question

Inspirado por una pregunta que hago aquí, yo soy el replanteamiento acerca de una pregunta:

Por qué la ecuación del calor no es tiempo reversible?

Yo no sé mucho acerca de la PDE y física, pero supongo que debe haber algún "tiempo de flecha" en matemáticas.

Considere el siguiente problema de valor inicial:

$$ \begin{cases} \Omega: (x,t) \in \mathbb{R} \times (0,+\infty) \\ u(x,0) = \delta(x) \\ u_t - u_{xx} = 0 \end{casos} $$

La solución está dada por $$ u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4 \pi t}} \exp \Big( \frac{-x^2}{4t} \Big) $$

Recuerdo de mis estudios universitarios PDE, por supuesto, es diferente de la elíptica ecuación de tiempo es reversible.

Si yo sustituto $t \mapsto -t$ y cambiar el dominio $\Omega$$\mathbb{R} \times (-\infty,0)$, la solución anterior no satisfará a los inhibidores de la PDE $u_t - u_{xx}$.

Sé que nos puede recordar a la segunda ley de la termodinámica, pero es una ley de la física, no un teorema matemático (o axiomas). Por una razón matemática, no debe ser la deducción lógica a partir de los axiomas de una "estructura" que hacen que la ecuación del calor diferente.

¿Cuál es la razón detrás de todo esto?

Recuerdo también un segundo orden de la PDE en un dominio $\Omega$:

$$ A(x,y) u_{xx} + 2B(x,y) u_{xy} + C(x,y) u_{yy} = W(u,u_x,u_y,x,y) $$

Nos dicen que es

(i) parabólico si para todos $x,y \in \Omega$, $B^2 - AC = 0$

(ii) hiperbólico si para todos $x,y \in \Omega$, $B^2 - AC > 0$

(iii) elíptica si para todos $x,y \in \Omega$, $B^2 - AC < 0$

Es una pura analogía a la sección cónica o debería haber algún tipo de estructura detrás de todo esto?

Answer 1

La ecuación del calor $u_t-u_{xx}=0$ no es tiempo reversible porque se trata de un número impar de orden derivado de la $t$. Bajo tiempo de reversión $t\mapsto-t$, obtenemos $u_t\mapsto-u_t$. Así que si $u(x,t)$ es una solución para la ecuación del calor, a continuación, $u(x,-t)$ es una solución a otra ecuación, es decir,$-u_t-u_{xx}=0$. La única manera para $u$ al resolver las dos ecuaciones es si $u_{xx}=0$ en todas partes, que no es el caso para la mayoría de las condiciones iniciales de interés, tales como su $\delta(x)$.

Por el contrario, la ecuación de onda $u_{tt}-u_{xx}$ tiempo es reversible ya que sólo involucra incluso derivadas de orden de $t$. Bajo tiempo de reversión $t\mapsto-t$, obtenemos $u_{tt}\mapsto u_{tt}$. Así que si $u(x,t)$ es una solución para la ecuación de onda, a continuación, $u(x,-t)$ es una solución para la ecuación de onda.

Answer 2

Si usted comienza con un espaciales de distribución de calor $u(x)$$t=0$, entonces la solución en $t > 0$ es infinitamente diferenciable porque es un promedio de una Gaussiana, y la de Gauss no podía ser más suave. Usted no debe esperar a ser capaz de deshacer un proceso. Esta es una ecuación de difusión, y la velocidad de propagación es, esencialmente, el infinito, lo que hace físicamente realista. Incluso con el agregado de la viscosidad, el proceso es irreversible.

Si usted resolver la ecuación del calor numéricamente, entonces usted puede preguntar cómo la solución en un punto en la cuadrícula depende del tiempo. Como comenzar a responder a esta pregunta, usted se encuentra buscando en los caminos de regreso a la inicial de datos, a través del algoritmo numérico, que puede ser pensado como la densidad de caminos que se refieren a los datos iniciales. En el límite de un gran número de puntos de la malla, esto comienza a parecerse a un central el problema de la limitación y, por lo tanto, la Gaussiana de la ponderación de los datos iniciales. Definitivamente este es un proceso que no se puede esperar a la inversa. El movimiento browniano se pueden utilizar en este proceso de solución.

El flujo de calor es un proceso de difusión, y el promedio no debe ser esperado a ser reversible. La entropía aumenta.

Answer 3

Esto va a ser más de un "¿por Qué creo que no es reversible" de un riguroso argumento:

En t = 0, deje que la temperatura de un 1-dimensional medio homogéneo ser piece-wise constante:

T(0,x) = 1 para x =< 0 ;

T(0,x) = 3 para x > 0 .

Para cualquier valor de x cuando t => infinito, T(t,x) => 2 .

Ahora, tomar cualquier valor de t > 0, y T(t,x) no, como una función de x, sea de forma idéntica = 2. Numéricamente o analíticamente, se puede ejecutar el calor de la ecuación de difusión hacia atrás, para valores pequeños de t. Pero una vez que llegue a t = 0, se va a recuperar el original de la discontinuidad en x = 0. ¿Qué T(0 - epsilon,x)? No creo que exista una razonable respuesta a eso.