Soluciones de la ecuación diofántica del $x^2(x^2+10)=3y^2(y^2+10)$

Question

Estoy buscando para las soluciones de la ecuación de Diophantine $$x^2(x^2+10)=3y^2(y^2+10).$ $ ¿existe alguna solución de esta ecuación excepto cuando $(x,y)=(0,0)$?
O
¿Cualquier programa como el MAGMA podría solucionar este problema?

Muchas gracias.

Answer 1

Si $x$ y $y$ no son tanto $0$, que $3^k$ ser la potencia más alta de $3$ que se divide el $x$ y $y$. Que $x=3^ks$ y $y=3^k t$. $3$ No puede ser un divisor común de $s$ y $t$.

Sustituir y cancelar. Tenemos $s^2(x^2+10)=3t^2(y^2+10)$. Desde $3$ no puede dividirse $x^2+10$, debe dividir $s$. Decir $s=3u$. Entonces $9u^2(x^2+10)=3t^2(y^2+10)$ y por lo tanto $3u^2(x^2+10)=t^2(y^2+10)$. Pero luego divide a $3$ $t$, contradiciendo el hecho de que $3$ no es un divisor común de $s$ y $t$.

Answer 2

% Toque $\rm\ 3\nmid f(n)=n^2\!+10\:$$\rm\ mod\ 3\!:\ n\equiv 0,1,2\ \ but\ \ f(0)\equiv 1,\ f(1)\equiv 2\equiv f(2).\:$así de la facturización única de $3$ $\rm\:x^2(x^2\!+\!10)\,$ son las $\rm\,x^2,\,$ un número incluso , pero la %#% de #% en $3$ son las $\rm\,3y^2(y^2\!+10)\,$ un número impar . Así $\rm\,3y^2,\,$ $\rm\,x^2(x^2\!+10)\ne3y^2(y^2\!+10)\,$

Nota $\rm\,x,y\in\Bbb Z.$, ignorando lo factores $\, $ que no desempeñan ningún papel, no siendo divisible por $\rm\,x^2\!+\!10,\ y^2\!+\!10,\,$, prueba de ello es precisamente lo mismo que una de las pruebas estándar de la irracionalidad de $3$