Calcular $1\times 3\times 5\times \cdots \times 2013$ los tres últimos dígitos.

Question

Calcular $1\times 3\times 5\times \cdots \times 2013$ los tres últimos dígitos.

Answer 1

Si $N=1\times 3\times 5\times \cdots \times 2013$

necesitamos encontrar $N\pmod{1000}$

Ahora $1000=8\cdot125$

Ahora, $1\cdot3\cdot5\cdot7\equiv1\pmod 8$ (Encuentre una generalización aquí )

Así que, $(1\cdot3\cdot5\cdot7)\cdots (2001\cdot2003\cdot2005\cdot2007)\equiv1\cdot1\cdots\cdot1\cdot1\equiv1\pmod 8 $

Así que, $N\equiv 1\cdot2009\cdot2011\cdot2013\pmod 8\equiv9\cdot11\cdot13\equiv1\cdot3\cdot5\equiv 7\pmod 8$

Claramente, $125|N\implies N\equiv0\pmod{125}$ como $125$ es un factor de $N$

Ahora aplicando el Teorema chino del resto ,

$$N\equiv 0\cdot b_1\cdot\frac{1000}{125}+7\cdot b_2\cdot\frac{1000}8\pmod{1000}$$ donde $b_1\cdot\frac{1000}{125}\equiv1\pmod{125}\text{ and } b_2\cdot\frac{1000}8\equiv1\pmod 8$

No necesitamos calcular $b_1$ ya que su multiplicador es $0$

$125b_2\equiv1\pmod8\iff 5b_2\equiv1\pmod8$

Intentando la multiplicación de $5$ con números coprimos a y $<8,$ obtenemos $b_2\equiv5\pmod 8$

Así que, $$N\equiv7\cdot5\cdot125\pmod{1000}\equiv(8\cdot4+3)125\equiv3\cdot125\equiv375\pmod{1000}$$

Answer 2

No tienes que calcular todo eso. ¿Cuáles son los posibles valores de las tres últimas cifras dado que N es impar y divisible por 125? Ahora usa el resultado de lab bhattacharjee de que N es congruente con 7 mod 8.

Answer 3

Hay que calcular $1\times3\times5...\times55$ entonces ves el patrón, sólo necesitas calcular los últimos 3 dígitos.

Creo que ahora puedes encontrar la respuesta por ti mismo.

Añado algún dato interesante:

para los últimos 2 dígitos, el círculo es de 15, el patrón es 25,25,75,75. para los últimos 3 dígitos, el círculo es de 25, el patrón es,625,875,375,625 para los últimos 4 dígitos, el círculo es de 25, el patrón es, 625,6875,9375,625,625,1875,9375,5625 para los últimos 5 dígitos, también se repite en 16 números.

cuando se calculan los 3 últimos dígitos, hay que tener en cuenta si es superior a 101, es decir $ 1\times 3\times5...\times101$ Entonces, para el tercer dígito, si se trata de un número impar, tienes que añadir 500 a los últimos 3 dígitos, si es par, entonces es lo mismo.

por ejemplo, 2013, el 3er dígito es 0, por lo que se puede calcular directamente: 2013 igual que 1013(8 veces),1013 igual que 1013-800=213,213 igual que 213-160=53,53 es igual que 53-24=27, que es 375.

Si pedimos 2113, entonces el tercer dígito es 1, así que para el número final, hay que sumar 500. 2113 igual que 113,113 igual que = 113-88=25, el número original es 625, se le suman 500 ,es 1125, por lo que el último número es 125.

para los últimos 4 o 5 dígitos, ya que más números afectarán al resultado, por lo que hay que hacer un cálculo más complejo que puede no ser tan sencillo.

este método no es tan "matemático", pero puede mostrar directamente el periodo de los últimos dígitos, lo que puede resultar interesante para los estudiantes.

Y mi pregunta es: ¿por qué los últimos 2 o 3 se repiten de tal manera, puede alguien predecir cuál es el círculo de números (16 números) para los últimos 5 dígitos y de dónde?