consideran los siguientes subconjuntos del plano complejo

Question

$$\Omega_1=\left\{c\in\Bbb C:\begin{bmatrix}1&c\\\bar c&1\\ \end{bmatrix}\text{ is non-negative definite } \right\} $$

$$ \Omega_2= \left\{c\in\Bbb C:\begin{bmatrix} 1 & c & c \\ \bar c & 1 & c \\ \bar c & \bar c & 1 \\ \end{bmatrix} \text {es no negativo definido} \right\}$$

Que $$\bar D=\{z\in\Bbb C:|z|\le1\}$ $ entonces 1) $\Omega_1=\bar D,\Omega_2=\bar D$

2). $\Omega_1\neq\bar D, \Omega_2=\bar D$

3). $\Omega_1=\bar D, \Omega_2\neq\bar D$

4). $\Omega_1\neq\bar D, \Omega_2\neq\bar D$

¿Cómo proceder? Gracias.

Answer 1

1. Tenga en cuenta que las matrices son Hermitian, por lo que es suficiente para comprobar si los autovalores $\lambda\geq 0$ son no negativos, o, equivalentemente, $$\mu~:=~1-\lambda~\leq~ 1.$$

2. La característica de los polinomios deleer $$ p_1(\lambda) ~=~\mu^2-|c|^2, $$ y $$ p_2(\lambda) ~=~\mu^3+|c|^2(2{\rm Re}(c) -3\mu), $$ respectivamente.

3. Definir descomposición polar $c~=~re^{i\theta}~\in~\mathbb{C}$.

4. Las raíces son $$ \mu~=~\pm |c|,$$ y $$ \mu = 2 r \cos\frac{\theta+2\pi p}{3},\qquad p\in\mathbb{Z},$$ respectivamente.

5. Por lo tanto, $$ \Omega_1~=~\{c\in \mathbb{C} \mid |c|\leq 1\}~=~\bar{D}, $$ mientras $$ \Omega_2~=~\{re^{i\theta}\in \mathbb{C} \mid \forall p\in \mathbb{Z}:~ 2 r \cos\frac{\theta+2\pi p}{3}\leq 1\}~\neq~\bar{D}. $$ Es sencillo comprobar que $$ \{c\in \mathbb{C} \mid |c|\leq \frac{1}{2}\}~\subsetneq~\Omega_2~\subsetneq~\bar{D}. $$

Answer 2

La $2\times 2$ matriz tiene valores propios $1 \pm |c|$, por lo que es positivo semidefinite si y sólo si $|c|\leq 1$.

Para la matriz de $3\times 3$, observe que el factor determinante es $-4$ cuando $c=-1$, por lo que la matriz no es positivo en este caso semidefinite.