¿Debe un elemento irreducible en $\mathbb{Z}[\sqrt{D}]$ tienen una norma primera?

Question

Sea $D\in \mathbb{Z}$ donde $D$ no es un cuadrado perfecto. Demuestra que si $\alpha\in \mathbb{Z}[\sqrt{D}]$ y $\alpha= a+b\sqrt{D}$ con: $|a^2-Db^2| = p$ un primo racional, entonces $\alpha$ es irreducible en $\mathbb{Z}[\sqrt{D}]$ . ¿Es cierto lo contrario?

Así que, para la sentencia if supongo que debo asumir $\alpha$ no es irreducible, digamos $\alpha=\beta\gamma$ donde no son unidades, entonces $N(\beta)N(\gamma)=p$ pero entonces me parece incorrecto suponer que existe una norma, porque esto lo convertiría en un dominio euclidiano ¿es ese el propósito del valor absoluto?

Answer 1

Si $\alpha$ es irreducible en $\mathbb{Z}[\sqrt{D}]$ es entonces $|\mathsf{N}(\alpha)| = p$ seguro que es un número primo en $\mathbb{Z}$ ? (Estoy diciendo lo contrario para asegurarme de que estamos en la misma página; si he malinterpretado lo que es lo contrario aquí, entonces nunca oiremos el final de esto).

No. Considera $D = -10$ . Resulta que $\sqrt{-10}$ es irreducible, pero tiene una norma de 10. La fórmula de la norma en este dominio es $$\mathsf{N}(a + b\sqrt{-10}) = a^2 - (-10)b^2 = a^2 + 10b^2.$$ Eso es todo lo que es una norma: una función que le permite comparar números de otros dominios dentro del marco familiar de $\mathbb{Z}^+ \bigcup \{0\}$ . El algoritmo euclidiano es otra cosa familiar de $\mathbb{Z}$ pero, a diferencia de la norma, no siempre se puede trasladar.

En este caso, la norma nunca puede ser un número negativo, por lo que no es necesario especificar el valor absoluto (otra cosa sería si $D$ es positivo). Si $\sqrt{-10}$ es reducible, entonces podemos resolver $\mathsf{N}(\beta) = 2$ y $\mathsf{N}(\gamma) = 5$ . Excepto que no podemos. Las normas posibles en este dominio son 0, 1, 4, 9, 10, 11, 14, 16, 19, 25, ... (ver Sloane's http://oeis.org/A020673 ). O bien $\beta$ o $\gamma$ es una unidad.

Dos respuestas anteriores ya han mencionado las normas de los primos racionales. Lo menciono de nuevo en aras de la exhaustividad.

Answer 2

Dado un campo numérico $K$ la norma de campo $\mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}$ se define independientemente de si el anillo de enteros $\mathcal{O}_K$ es un dominio euclidiano. Se puede demostrar que un elemento $\alpha\in\mathcal{O}_K$ es una unidad si $\mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\pm1$ .

Sea $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ Así que $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ . El elemento $2$ es irreducible en $\mathcal{O}_K$ pero $$\mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}(2)=2^2-(-5)0^2=4$$ no es un primo. Puedes ver que $2$ es irreducible porque, suponiendo por contradicción que $2=\beta\gamma$ para dos no unidades, tenemos $$4=\mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}(2)=\mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}(\beta)\cdot \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}(\gamma)=\pm2\cdot\pm 2$$ pero no hay elementos de $\mathcal{O}_K$ que son de norma $2$ o $-2$ porque $$\mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}(a+b\sqrt{-5})=a^2-(-5)b^2=a^2+5b^2$$ siempre positivo, es $\geq 5$ si $b\neq 0$ y sólo puede ser un número cuadrado si $b=0$ .

Answer 3

Lo contrario sólo puede ser cierto cuando la norma es el cuadrado de un primo racional. Si $D$ es negativo, entonces $\alpha$ es puramente real.

La función norma está disponible independientemente de si el dominio es euclídeo o no. El propósito del valor absoluto es que la función no devuelva un número negativo como resultado. Por ejemplo, $N(1 - \sqrt{3}) = -2$ pero con el valor absoluto, $|N(1 - \sqrt{3})| = 2$ por lo que cumple uno de los requisitos para ser una función euclídea (es un mapeo a los enteros positivos y $0$ ).

Si un número entero positivo concreto puede ser una norma en un dominio concreto es una cuestión diferente. Por ejemplo, en $\textbf{Z}[\sqrt{3}]$ ningún número tiene una norma de $5$ (y $5$ tiene una norma de $25$ .