Una extensión de un cuerpo de números algebraicos que hace un ideal$I$ integral, una de ideales principales

Question

Quiero demostrar que, dado un ideal $I \subseteq \mathcal O_K$ (donde $K/\mathbb Q$ es un número algebraico de campo), hay una extensión finita $K'/K$ de manera tal que, $I\mathcal O_{K'}$ se convierte en un director ideal en $\mathcal O_{K'}$.

El ejemplo de la solución para este problema utiliza la $K' = K[X]/(X^h - x)$ donde $(x) = I^h$ y $h$ es el número de clase para el campo $K$.

Ya veo por qué la $I\mathcal O_{K'}$ es un director ideal, sin embargo lo que no veo es la razón por la $K'$ es un campo. Sé que $K'$ siendo un campo es equivalente a $(X^h - x)$ siendo un ideal maximal, y este a su vez es equivalente a $X^h - x$ ser irreductible. ¿Por qué es este el caso?

Answer 1

Nos podría fácilmente escribir $K'=K(\sqrt[h]{x})$. Un problema en la escritura de $K'=K[X]/(X^h-x)$ es que el grupo de clase ${\rm Cl}(K)$ no tiene que ser simple, por lo tanto, pueden ser elementos con el fin de correctamente la división de la clase número $h$, en cuyo caso si $I^r=(y)$ $r< h$ $I^h=(y^{h/r})$ lo que implica $X^h-y^{h/r}$ es reducible $K$ ya que es expresable como la $(X^r)^{h/r}-y^{h/r}$, por lo que, de hecho, $K[X]/(X^h-x)$ no sería un dominio.

Si $r$ es el orden de los ideales de la clase $[I]$ ${\rm Cl}(K)$ $I^r=(x)$ $x\not\in K^\ell$ cualquier $\ell\mid r$, sin embargo esta última condición no es suficiente para implicar $X^r-x$ es irreductible - ven aquí; el extra condición necesaria es que si $4\mid r$$x\not\in -4K^4$. (No estoy seguro de un contraejemplo para el ideal de la clase de condición de lo que implica la irreductibilidad de $X^r-x$ desafortunadamente, o si no puede ser.)