Integrante de$\sin(e^t)dt$

Question

Deje $f(x) = \int_x^{x+1} \sin(e^t)dt$. Mostrar que $$ e^x|f(x)| < 2 $$ y que $$ e^xf(x) = \cos(e^x) - e^{-1}\cos(e^{x+1}) + r(x) $$ donde $|r(x)| < Ce^{-x}$ para algunas constantes $C$.

Puedo hacer la primera parte con facilidad. Integración por partes nos da $$ f(x) = \frac{\cos e^x}{e^x} - \frac{\cos e^{x+1}}{e^{x+1}} - \int_{e^x}^{e^{x+1}} \frac{\cos u}{u^2}du, $$ así que sustituyendo $\cos u = 1$ $\cos u = -1$ da \begin{align*} \cos e^x - 1 + \frac{1}{e}\left(1- \cos e^{x+1}\right) &\leq e^xf(x) \leq \cos e^x + 1 - \frac{1}{e}\left(\cos e^{x+1} + 1\right)\\ -2 &< e^xf(x) < 2 \end{align*} De modo que $e^x|f(x)| < 2$.

Me quedo atascado en la segunda parte, sin embargo. De integración por partes, he a $e^xf(x) = \cos e^x - e^{-1}\cos e^{x+1} - e^x\int_{e^x}^{e^{x+1}} \frac{\cos u}{u^2}du$, con lo que reduce a mostrar que la $$ \left|\int_{e^x}^{e^{x+1}} \frac{\cos u}{u^2}du\right| < Ce^{-2x} $$ para algunas constantes $C$. Sin embargo, yo siempre terminan con una constante de $Ce^{x}$ más que para el $C$.

Answer 1

Una integración por las piezas que le da el primer resultado también producirá al segundo. Let $u=e^{-t}$, $dv=e^t\sin(e^t)$. $du=-e^{-t}dt$ Y nosotros podemos tomar $v=-\cos(e^t)$. Nos quedamos con $$\int_x^{x+1} e^{-t}\cos(e^t)\,dt.$ $ ya que en nuestro intervalo tenemos $e^{-t}\le e^{-x}$ y $|\cos(e^t)|\le 1$, el resultado deseado sigue, con $C=1$.

Answer 2

$$\left|\int_{e^x}^{e^{x+1}} \frac{\cos u}{u^2}du\right|=\left|\int_{x}^{x+1} e^{-t} \cos( e^{t})dt\right| \leq \int_{x}^{x+1} e^{-t} dt = -e^t|_{t=x}^{t=x+1} = \left(1-\frac{1}{e}\right)e^{-x}. $$

Creo que se puede ver ahora su constante $C$.