Interpretación física de la integral de trayectoria de Feynman

Question

En mecánica cuántica, pensamos en la integral de trayectoria de Feynman $\int{D[x] e^{\frac{i}{\hbar}S}}$ (donde $S$ es la acción clásica) como amplitud de probabilidad (propagador) para llegar desde $x_1$ a $x_2$ en algún momento $T$ . Interpretamos la expresión $\int{D[x] e^{\frac{i}{\hbar}S}}$ como una suma sobre las historias, ponderada por $e^{\frac{i}{\hbar}S}$ .

¿Existe una interpretación física para el peso $e^{\frac{i}{\hbar}S}$ ? Ciertamente no es una amplitud de probabilidad de ningún tipo porque su módulo al cuadrado es uno. Mi motivación para hacer esta pregunta es que estoy tratando de interpretar físicamente la expresión $\langle T \{ \phi(x_1)...\phi(x_n) \} \rangle = \frac{\int{D[x] e^{\frac{i}{\hbar}S}\phi(x_1)...\phi(x_n)}}{\int{D[x] e^{\frac{i}{\hbar}S}}}$ .

Answer 1

Hasta un factor de normalización universal, $\exp(iS_{\rm history}/\hbar)$ es la amplitud de probabilidad para que el sistema físico evolucione a lo largo de la historia particular. Todos los números complejos de la mecánica cuántica son "amplitudes de probabilidad de un tipo".

Esto es particularmente claro si consideramos la suma sobre las historias en un intervalo de tiempo corto $(t,t+dt)$ . En ese caso, todas las historias intermedias pueden interpretarse como "campos lineales" -por ejemplo, un movimiento uniforme $x(t)$ - por lo que sólo contribuye la recta y su significado no es otro que los elementos de la matriz del operador de evolución.

Puede resultar desconcertante que todas las historias tengan amplitudes de probabilidad con el mismo valor absoluto. Pero es cierto -en el sentido de la integral de trayectoria de Feynman- y así es como opera la Naturaleza. Al final, algunas historias (por ejemplo, las historias de grano grueso en el sentido de la interpretación de la historia consistente de la mecánica cuántica) son más probables o mucho más probables que otras. Pero dentro de la mecánica cuántica, todas estas diferencias entre la probabilidad de diferentes historias de grano grueso se explican por la interferencia constructiva o destructiva de las amplitudes (y/o por los diferentes "tamaños del conjunto de historias"). Esa es la explicación universal de la mecánica cuántica de por qué algunas historias son más probables que otras. ¡Las historias que no son de grano grueso son igualmente probables!

Answer 2

"Ciertamente no es una amplitud de probabilidad de ningún tipo porque su módulo al cuadrado es uno". Esto no se deduce... De todos modos, un factor de normalización (infinito) se esconde en la medida. La exponencial tiene la interpretación de un sin normalizar amplitud de probabilidad. Normalmente no hay que preocuparse por la normalización explícitamente porque se calculan cocientes de integrales de trayectoria, como muestra tu ejemplo. El libro sobre la interpretación física de las integrales de trayectoria es el original, y muy legible, de Feynman y Hibbs, que ahora tiene una edición muy económica de Dover. Lo recomiendo encarecidamente. :) (Aunque asegúrate de conseguir la edición corregida, ya que la original tenía numerosas erratas).

Answer 3

Uno de los valores numéricos del peso $\exp{\frac{i S}{\hbar}}$ va a tener una contribución máxima a la integral de trayectoria de Feynman. Probablemente hayas visto un gráfico de densidad de probabilidad en 2D o 1D. La trayectoria clásica será la que minimice la acción. Piensa en ella como una densidad de probabilidad máxima que se mueve de una posición más probable a otra. La densidad lagrangiana de la acción clásica es la que más contribuye a la integral de la trayectoria.

Answer 4

Una interpretación interesante proviene del Rotación de mechas , donde se interpreta $it/\hbar=\beta=1/(k_BT)$ - un tiempo imaginario convierte muchas ecuaciones cuánticas en ecuaciones similares de la termodinámica / mecánica estadística.

Desde $S = \int L\,dt = \int (T-V)\,dt$ tiene la dimensión de energía por tiempo, esto significa que el exponente puede interpretarse como energía por $\beta$ es decir

$$e^{\frac i\hbar S} \approx e^{-\beta E}$$

que es el sumando del función de partición Desde el cual se puede derivar otras magnitudes termodinámicas como la entropía, la capacidad calorífica o la energía libre de Helmholtz.

Tenga en cuenta que he sido muy cuidadoso con la transición de $L$ a - $E$ Tendrías que insertar la transformación de Legendre real $L=pq-H$ y evaluar realmente la integración del camino. Creo que lo hemos hecho más exactamente en las conferencias en un momento dado, pero no puedo recordar con seguridad...

Answer 5

En un momento en que mi martillo era la distribución delta de Dirac, yo Conjeturado que la respuesta era La integral de Feynman es una generalización de la delta de Dirac El uso de este delta es para encontrar el extremo de la acción.

Dada una función $f(x)$ encontrar una medida de Dirac $\delta_f$ concentrados en los puntos críticos de $f$ . La respuesta es obviamente $ \delta(f'(x))$ y usando eso $\delta(w)=\frac 1{2\pi}\int e^{iwt} dt$ podemos escribir

$$ < \delta(f'(x)) | g(x)> = \int \int e^{i z f'(x)} g(x) dz dx = \int \int \lim_{y\to x} e^{i z {f(y)-f(x)\over y-x} } g(x) dz dx $$

y sustituyendo $\epsilon= {y - x \over z}$

$$ <\delta_f | g> = \int \int \lim_{\epsilon\to 0} e^{i {1 \over \epsilon} (f(y) - f(x))} g(x) dx {dy \over \epsilon} $$ Y si sabemos que el extremo es único, podemos trabajar con la expresión "reducida a la mitad"

$$<\delta_f^{1/2} | O> = \lim_{\epsilon\to 0} {1 \over \epsilon^{1/2}} \int e^{i {1\over\epsilon} f(x)} O(x) dx$$ a partir de la cual, tomando el módulo al cuadrado, $ <\delta_f | g> = <\delta_f^{1/2} | O> <\delta_f^{1/2} | O>^* $

Pero esto es sólo un argumento estático de dimensión cero. Ni siquiera es una teoría D=0+1, es D=0+0. El mismo argumento para la Mecánica Cuántica o Clásica (D=0+1) o para la Teoría de Campos (D=3+1, digamos) debería implicar controlar $$<\delta_L^{h,\epsilon'} | O[\phi] > = \int ... \int {1\over (h \epsilon')^{n/2}} e^{i {1\over h} L^{\epsilon'}_n[\phi_0,x_1,...x_n,\phi_1]} O[\phi] (\Pi dx_i) $$ con alguna técnica similar a un puente browniano para una medida de Wiener, o al menos mi nota de 1998 dice eso.

Lo curioso de esta idea fue partir de la Lagrangiana sin ningún postulado de la mecánica wuantum, ni siquiera el propagador, que es la piedra angular de las respuestas en ¿Por qué la contribución de una trayectoria en el formalismo integral de trayectoria de Feynmans $\sim e^{(i/\hbar)S[x(t)]}$ . Creo que persiguiendo este camino había tropezado con los caminos no diferenciables mencionados en Una vez que una función de partición cuántica está en forma de integral de trayectoria, ¿contiene algún operador? y Qué tipo de trayectorias continuas no diferenciables contribuyen para la integral de trayectorias en la mecánica cuántica .

La conexión de la integral de trayectoria con la mecánica clásica también se discute aquí Qué tipo de trayectorias continuas no diferenciables contribuyen para la integral de trayectorias en la mecánica cuántica y en el documento de Dirac citado en esta respuesta https://physics.stackexchange.com/a/134215/1335