¿Cuál es el significado de esta identidad en relación con las particiones?

Question

Estaba viendo una charla impartido por el profesor Richard Kenyon de la Universidad de Brown, y me confundió una ecuación que aparecía brevemente en la parte inferior de una diapositiva en 15:05 en el vídeo.

$$1 + x + x^3 + x^6 + \dots + x^{n(n-1)/2} + \dots = \left(\frac{1-x^2}{1-x}\right) \left(\frac{1-x^4}{1-x^3}\right) \left(\frac{1-x^6}{1-x^5}\right) \dots$$

A la izquierda tenemos la serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty}x^{T_n}$ . A la derecha tenemos una especie de producto infinito. ¿Puede alguien explicar cuál es el significado de esta identidad, en relación con las particiones de números enteros?

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Antecedentes: El ponente comienza hablando de la función generadora de la función de partición, $$P(x) = \prod_{k=1}^\infty \left(\frac {1}{1-x^k} \right)$$

A continuación, utiliza la idea de esta función generadora para derivar una identidad divertida: $$(1+x)(1+x^2)(1+x^3)\dots = \frac{1}{(1-x)(1-x^3)(1-x^5)\dots}$$ que muestra que el número de particiones en partes desiguales es igual al número de particiones en partes Impares.

Este es el contexto de la identidad anterior, que no llegué a comprender.

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También: He buscado un poco y he encontrado un documento de 1991 de Ono, Robins y Wahl sobre las particiones con números triangulares, que podrían estar relacionadas.

Este documento demuestra que $$ \sum_{n=1}^{\infty}{x^{T_n}} = \prod_{n=1}^{\infty}{\frac{(1-x^{2n})^2}{1-x^n}}$$ lo que demuestra que la identidad es verdadera.

Answer 1

Si los lados se dividen por el numerador de la derecha, la fórmula es $$\frac{\sum x^{T_n}}{(1-x^2)(1-x^4)\cdots}=\frac{1}{(1-x)(1-x^3)\cdots}. \tag{1}$$ Aquí el lado izquierdo con el numerador sustituido por $1$ representa las particiones en partes pares, mientras que el lado derecho lo hace en partes Impares. Volviendo a poner el numerador, el lado izquierdo representa representaciones de un número por un solo número triangular más una suma de partes pares, mientras que el lado derecho representa de nuevo representaciones por sumas de partes Impares.

Así que en esta forma, la identidad dice el número de formas de escribir $n$ como un número triangular más una suma de partes pares es el mismo que el número de formas de escribir $n$ como una suma de partes Impares. Obsérvese que el único número triangular implicado aquí puede ser $0$ (que es $T_0$ ). No sabía la igualdad de estos dos recuentos, pero lo he probado con algunos números pequeños y parece que es así.

Una ligera corrección y una mejor explicación del recuento del lado izquierdo: Desde la serie taylor de $1/[(1+x^2)(1+x^4)\cdots$ comienza con el término $1\cdot x^0,$ está claro que la serie considera que $0$ es efectivamente la (única) partición de $0$ en partes pares. [Así que cuando esta serie se multiplica por el numerador en (1), el resultado es contar, para un determinado $n,$ pares ordenados que consiste en un número triangular $T$ (que puede ser cero) seguido de una partición de $n-T$ en partes pares, y la notación como $(6),2$ (para $n=8$ ) significa que es la entidad para la que $T$ se ha tomado como 6 y luego $n-T=8-6=2$ debe dividirse en parte(s) par(es), aquí el 2 extra después del (6) de $(6),2.$ Dado que hay que "etiquetar" estas entidades por el número triangular utilizado, se trata de una entidad diferente a la $(0),2,6$ en el recuento. Provienen de diferentes potencias de $x$ en el numerador de (1). [Creo que en alguna parte de la respuesta o en los comentarios había insistido erróneamente en que la partición en partes pares que sigue al número triangular tenía que ser de partes pares positivas, pero esto es así sólo cuando $n$ no es triangular].