Generalizada De Hardy-Ramanujan Números

Question

El número 1729 tiene la fama de ser el más pequeño entero positivo se puede expresar como la suma de dos positivos de los cubos de dos maneras diferentes ($1729=1^3+12^3=9^3+10^3$). Hay un montón de trabajo en "taxi números" - el más pequeño sumas de cubos en $n$ diferentes formas (que siempre existen) - Aquí está Ivars Peterson en MAA Y he aquí otro análisis detallado. (¿Alguien sabe algo sobre el "proyecto de Ley de Mayordomo" a que se refiere el artículo segundo)

Sin embargo, la secuencia que llamó mi atención es OEIS A016078 - 4, 50, 1729, 635318657 que da a los más pequeños números que son sumas de positivos $n^{th}$ potencias de dos maneras. ¿Hay algún trabajo más reciente o la perspectiva de la identificación de dichos números para el quinto poderes y de arriba? En el caso de ser nombrado en el título de este post?

[Esta pregunta se plantea de una forma mucho más frívolo, el cual estuvo cerrado, en el que me enteré de eso $50^{th}$ cumpleaños fue especial en esta forma particular].

Answer 1

Hombre, los Problemas sin resolver En la Teoría de números, 3ª edición, D1, escribe, "... no se sabe si hay alguna solución no trivial de $a^5+b^5=c^5+d^5$. Dick Lehmer una vez pensó que podría ser una solución con una suma de alrededor de 25 dígitos decimales, pero una búsqueda por Blair Kelly dio ninguna solución no trivial con suma $\le1.02\times10^{26}$."

En F30, Guy escribe, "... $x^5$ es una respuesta probable a la siguiente sin resolver el problema de Erdos. Encontrar un polinomio $P(x)$ de manera tal que todas las sumas $P(a)+P(b)$ ($0\le a\lt b$) son distintos."

El libro fue publicado en 2004. No sé si ha habido ningún progreso desde entonces.

Answer 2

Es necesario resolver la ecuación:

$$x^5+y^5+z^5=q^5$$

Para los números enteros los números complejos que existen soluciones. $j=\sqrt{-1}$

Hacer este cambio.

$$a=p^2-2ps-s^2$$

$$b=p^2+2ps-s^2$$

$$c=p^2+s^2$$

Usted puede escribir la solución.

$$x=jc+b$$

$$y=jc-b$$

$$z=a-jc$$

$$q=a+jc$$

$p,s$ - enteros.