Cómo demostrar que $\lim\limits_{x \to \infty} f'(x) = 0$ implica $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ ?

Question

Estaba tratando de resolver un problema que encontré en Internet. Este es el enunciado del problema:

Dejemos que $f(x)$ sea continuamente diferenciable en $(0, \infty)$ y supongamos $\lim\limits_{x \to \infty} f'(x) = 0$ . Demostrar que $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ .

(fuente: http://www.math.vt.edu/people/plinnell/Vtregional/E79/index.html )

La primera idea que se me ocurrió fue mostrar que para todos los $\epsilon > 0$ tenemos $|f(x)| < \epsilon|x|$ para un tamaño suficientemente grande $x$ . (Y creo que podría hacerlo utilizando el hecho de que $f'(x) \to 0$ como $x \to \infty$ .)

Sin embargo, me preguntaba si había una forma diferente (y más bonita o inteligente). Esta es una idea que tenía en mente:

Si $f$ está acotado, entonces $\frac{f(x)}{x}$ claramente va a cero. Si $\lim\limits_{x \to \infty} f(x)$ es $+\infty$ o $-\infty$ entonces podemos aplicar la regla de l'Hôpital (para obtener $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{1} = 0$ ).

Sin embargo, no estoy seguro de lo que podría hacer en el caso restante (cuando $f$ no tiene límites pero oscila como un loco). ¿Hay alguna manera de terminar la prueba a partir de aquí?

Además, ¿hay otras formas de demostrar la afirmación dada?

Answer 1

Esta es una consecuencia inmediata de la norma de L'Hopital. Por ejemplo, a continuación se dice la regla de L'Hospital, de Rudin $\:$ Principios del Análisis Matemático, $\:$ 1976. Nótese que sólo requiere que el denominador $\to\infty\:,\:$ no también el numerador. Para más información, consulte los documentos mensuales citado aquí.

REMARK $\ $ La regla de L'Hospital (LHR) es esencialmente una forma de la Teorema del valor medio (MVT) reempaquetado en una forma conveniente para los cálculos de los límites. Por supuesto, se puede "desempaquetar" la MVT y aplicarla directamente sin mencionar la LHR. Vale la pena subrayar que al hacerlo se no realmente evitar la Regla de L'Hopital (LHR), ya que es precisamente la prueba de LHR, sólo que especializada a una función específica. Además, la demostración de la mayoría de los casos especiales no es mucho más sencilla que la demostración del caso general de LHR. La razón de ser de la abstracción de LHR es que encapsula tales aplicaciones del Teorema del Valor Medio en una forma convenientemente aplicable, de modo que uno puede reutilizar fácilmente la prueba simplemente invocando la regla por su nombre, no por su valor, es decir, ¡no repitiendo toda la prueba ("inlining") cada vez que uno la aplica!

Answer 2

Aquí hay una prueba que evita la regla de L'Hôspital (aunque ciertamente se puede usar, como señaló Bill; básicamente, la condición sobre $f'(x)$ asegura que la función no puede oscilar como un loco).

Dejemos que $\epsilon\gt 0$ . Queremos demostrar que existe $N\gt 0$ de manera que si $x\gt N$ entonces $$\left|\frac{f(x)}{x}\right| \lt\epsilon.$$

Sabemos que existe $M\gt 0$ tal que $|f'(x)|\lt \frac{\epsilon}{2}$ para todos $x\gt M$ . Por el teorema del valor medio, si $x\gt M$ existe $c\in (M,x)$ tal que $f(x)-f(M)=f'(c)(x-M)$ Así que $$|f(x)-f(M)| = |f'(c)|(x-M) \lt \left(\frac{\epsilon}{2}\right) x.$$ Es decir, para todos los $x\gt M$ , $$\left|\frac{f(x)}{x} - \frac{f(M)}{x}\right| \lt\frac{\epsilon}{2}.$$

Como $x\to\infty$ Sabemos que $\frac{f(M)}{x}\to 0$ (ya que $f(M)$ es fijo). Por lo tanto, existe $N\gt M$ de manera que si $x\gt N$ entonces $\left|\frac{f(M)}{x}\right|\lt \frac{\epsilon}{2}$ . Por lo tanto, si $x\gt N$ entonces $$\left|\frac{f(x)}{x}\right| \leq \left|\frac{f(x)-f(M)}{x}\right| + \left|\frac{f(M)}{x}\right| \lt \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} = \epsilon,$$ que es lo que necesitábamos probar. QED

Answer 3

Yo empezaría así: para $x\geq 1$ tenemos $${f(x)\over x}={f(1)\over x}+{1\over x}\int_1^x f^\prime(y)\, dy.$$

Answer 4

Puedes hacer una prueba por contradicción. Si ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} {f(x) \over x}}$ no fuera cero, entonces hay un $\epsilon > 0$ de manera que haya $x_1 < x_2 < ... \rightarrow \infty$ tal que ${\displaystyle\bigg|{f(x_n) \over x_n}\bigg| > \epsilon}$ . Entonces para $a \leq x_n$ uno tiene $$|f(x_n) - f(a)| \geq |f(x_n)| - |f(a)|$$ $$\geq \epsilon x_n - f(a)$$ Por el teorema del valor medio, existe un $y_n$ entre $a$ y $x_n$ tal que $$|f'(y_n)| = {|f(x_n) - f(a)| \over x_n - a}$$ $$\geq {\epsilon x_n - f(a) \over x_n - a}$$ Dejar $n$ van al infinito esto significa que para un tamaño suficientemente grande $n$ tienes $$|f'(y_n)| > {\epsilon \over 2}$$ Dado que cada $y_n \geq a$ y $a$ es arbitraria, $f'(y)$ no puede ir a cero como $y$ va al infinito.

Answer 5

Dejar $f:\left[ a,+\infty \right[ \longrightarrow \mathbb{R} $ diferenciable supongamos que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} f'(x)=l \in \mathbb{R}$ demostrar que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{f(x)}{x}=l $

comenzaremos con el teorema del valor medio: para $ x > \max(0,a) \ \exists c\in \left]a,x\right[ $ tal que $$f(x)-f(a)=f'(c)(x-a)\implies \dfrac{\dfrac{f(x)}{x}-\dfrac{f(a)}{x}}{1-\dfrac{a}{x}}=f'(c)$$ y porque como $c\rightarrow +\infty$ , $x\rightarrow +\infty$ entonces tenemos: $$\lim_{c\rightarrow +\infty} f'(c)=\lim_{c\rightarrow +\infty }\dfrac{\dfrac{f(x)}{x}-\dfrac{f(a)}{x}}{1-\dfrac{a}{x}}\implies \lim_{c\rightarrow +\infty}\dfrac{\dfrac{f(x)}{x}-\dfrac{f(a)}{x}}{1-\dfrac{a}{x}}=l\implies \lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\dfrac{f(x)}{x}-\dfrac{f(a)}{x}}{1-\dfrac{a}{x}}=l$$ así tenemos el resultado deseado: $$\lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{f(x)}{x}=l$$