¿Por qué utilizar la notación radical en lugar de los exponentes racionales?

Question

Estoy ayudando a mi hermana menor para su clase de matemáticas. Recientemente ha sido enseñado exponentes de números enteros, y ha starteed el estudio de los radicales (principalmente de las raíces cuadradas). El siguiente tema va a ser exponentes racionales, que ella ya ha leído un poco en.

Ha sido un largo tiempo desde que he aprendido de todo esto y se ha convertido en una segunda naturaleza para mí. En particular, nunca he sido aficionado a la notación radical y a menudo terminan escrito $(expr)^\frac{1}{2}$ en lugar de $\sqrt{expr}$. Esto significa que mientras yo pueda darle una buena cantidad de ayuda, yo no estoy siempre capaz de justificar el por qué de las cosas cómo el trabajo que hacen y cuál es la motivación detrás de lo que ella le enseñó.

Ahora ella entiende exponentes de números enteros; sumar, multiplicar, incluso cuando racional de las bases están involucrados. Raíces sin embargo confunden, lo que significa que mientras que ella es capaz de resolver por ejemplo,$y^{5/2} (\frac{x}{2})^2 \frac{x}{x^{1/2} y^{7/4}} = \frac{1}{4} x^{5/2} y^{3/4}$, la misma cosa escrita con raíces $\sqrt{y^5} (\frac{x}{2})^2 \frac{x}{\sqrt{x} \sqrt[4]{y^7}}$ es claro para ella. Ella ahora tiene que volver a aprender cada fórmula ella sabe como $x^n y^n = (xy)^n$ escrito con raíces $\sqrt{x}\sqrt{y} = \sqrt{xy}$.

Le he explicado que las raíces y los exponentes racionales son aproximadamente de la misma y cómo reescribir raíces como exponentes racionales ($\sqrt[q]{x^p} = x^\frac{p}{q}$). No está permitido que lo haga en clase, sin embargo, como aprender acerca de las raíces es obligatorio, y no estoy realmente tratando de ayudarla a saltar el tema.

Pero dado que el exponente de la notación es mucho más sencillo para ella (y para mí) ella me preguntó cuál era la razón para el uso de raíces, en primer lugar, y yo no era capaz de responder. Así que aquí está la pregunta: ¿cuáles son las razones para usar raíces ? Hay casos significativos donde la última ecuación escribí anteriormente no ? Son enésimo raíces y exponentes racionales realmente diferentes bestias ?

Answer 1

(Lo siento por el error de generación!)

Para intentar responder a la pregunta, creo que es una gran medida de dos veces consecuencia de la inercia histórica se menciona en los comentarios por @coffeemath. Por un lado, es simple en el aula de inercia: es 'siempre se ha hecho de esta manera, así que lo hacemos de esta manera. Por otro lado, es la consideración práctica de que, desde la notación radical hace sobrevivir en el mundo real, los estudiantes necesitan aprender cómo tratar con él. Nada de esto, sin embargo, justifica la exigencia de que los estudiantes a lidiar con ella directamente, en lugar de mediante la traducción en menos engorroso, más fáciles de manipular la notación. De hecho, en mi opinión, esta es una buena ocasión para hacer el punto de que bien elegido notación hace que nuestra matemática vida más fácil.