Probar que p divide a algebraica multiplicidad del autovalor

Question

Necesito ayuda en el siguiente ejercicio de un examen de calificación:

Deje $A$ ser una matriz de tamaño $m$ $m$ sobre el campo finito $\mathbb{F}_p$ tal que $\operatorname{trace}\left(A^n\right)=0$ todos los $n$. Si $\lambda$ es un valor distinto de cero autovalor de a $A$, demostrar que la multiplicidad algebraica de $\lambda$ es divisible por $p$.

Gracias por algunas pistas.

Answer 1

Darij del argumento es, sin duda, mucho más inteligente (no lo entiendo), pero el siguiente enfoque simple también funciona. En la clausura algebraica, tenemos la forma normal de Jordan disponible, así que si $m_j$ denota la multiplicidad algebraica de $\lambda_j$, luego de su asunción ahora dice que $\sum m_j \lambda_j^n=0$ todos los $n\ge 1$ o, de manera equivalente, $\sum m_jp(\lambda_j)=0$ para todos los polinomios con $p(0)=0$. Ahora podemos tomar $p=\lambda\prod_{k\not= j} (\lambda-\lambda_k)$ a ver que $m_j\equiv 0\mod p$ si $\lambda_j\not= 0$.