Si $A$ $B$ son dos matrices tales que el $AB=B$ $BA=A$ entonces, ¿cómo demostrar que $A^2+B^2$ es igual a $A+B$?

Question

Si $A$ $B$ son dos matrices tales que el $AB=B$ $BA=A$ $A^2+B^2$ es igual ?

(a) $2AB$

(b) $2BA$

(c) $A+B$

(d) $AB$

He intentado $(A+B)^2=A^2+B^2+AB+BA$

o,$A^2+B^2=(A+B)^2-AB-BA$

$=(A+B)^2-A-B$

$ =(A+B)^2-(A+B)=(A+B)(A+B-1)$

Cómo llegar a la respuesta de aquí?

Answer 1

En primer lugar, aquí es cómo usted puede averiguar la respuesta por proceso de eliminación. Podemos ver que si $A$ $B$ son tanto la identidad, entonces la condición se cumple, y $A^2 + B^2 = 2I$ en ese caso. Esto descarta la opción (d). Siguiente, tenga en cuenta que $A^2 + B^2$ es simétrica en $A$$B$, por lo que si (a) es correcta, entonces por simetría (b) debe ser correcto también. De modo que las hojas (c).

Ahora, esto no establecer que (c) es realmente correcto. Para resolver el problema correctamente, tenga en cuenta que

$$A = BA = (AB)A = A(BA) = A^2$$,

y de manera similar a $B = B^2$. Por lo tanto, $A^2 + B^2 = A + B$.

Answer 2

Más precisamente, no es un número entero positivo $p$ s.t. $A,B$ son a la vez similares a $A'=\begin{pmatrix}I_p&0\\0&0_{n-p}\end{pmatrix},B'=\begin{pmatrix}I_p&Q\\0&0_{n-p}\end{pmatrix}$ donde $Q$ es arbitraria $(p\times n-p)$ matriz.

Prueba. Desde $A^2=A$, $p$ s.t. $A$ es similar a $A'=\begin{pmatrix}I_p&0\\0&0_{n-p}\end{pmatrix}$; deje $B'=\begin{pmatrix}P_p&Q\\R&S_{n-p}\end{pmatrix}$. A continuación, continúe con la identificación de las relaciones $A'B'=B',B'A'=A'$.