Factor de integración, No de recibir la respuesta dada?

Question

$y' - 4y = t$

Mi factor de integración es $e^{-4t}$

$\int e^{-4t}y'$ - $\int 4e^{-4t}y$ = $\int te^{-4t}$

$\int (e^{-4t}y)'$ = $\int te^{-4t}$

$e^{-4t}y$ = $-4te^{-4t}$ - $e^{-4t}$

Termino con $y' = -4t -1 + ce^{4t}$

¿De dónde me salen mal?

Answer 1

Integró $\int te^{-4t}\mathrm dt$ incorrectamente. Debe ser $$\int te^{-4t}\mathrm dt=-\dfrac{t}{4}e^{-4t}-\dfrac{1}{16}e^{-4t}+c$$ Luego multiplicando ambos lados por $e^{4t}$ da $$y=-\dfrac{t}{4}-\dfrac{1}{16}+ce^{4t}$$

Answer 2

Vamos $u=t$, $du=dt$, $dv=e^{-4t}$, y $v=-\cfrac{1}{4}e^{-4t}$, luego usando integración por partes, $\displaystyle\int te^{-4t}\, dt$ debe ser \begin{align} \int te^{-4t}\, dt&=-\cfrac{t}{4}e^{-4t}+\cfrac{1}{4}\int e^{-4t}\,dt\\ &=-\cfrac{t}{4}e^{-4t}+\cfrac{1}{4}\left(-\cfrac{1}{4}e^{-4t}\right)+C\\ &=-\cfrac{t}{4}e^{-4t}-\cfrac{1}{16}e^{-4t}+C\\ \end{align}