Estoy convencido de que los radianes son, al menos, la más conveniente de la unidad para los ángulos en las matemáticas y la física. En adición a esto yo sospecho que ellos son los más fundamentalmente unidad natural para los ángulos. Lo que quiero saber es por qué esto es así (o por qué no).
Entiendo que el uso de radianes es útil en el cálculo que involucran funciones trigonométricas, porque no hay desordenado factores como $\pi/180$. También entiendo que esto es debido a que $\sin(x) / x \rightarrow 1$ $x \rightarrow 0$ al $x$ está en radianes. Pero qué significa esto radianes son fundamentalmente más natural? Lo que es matemáticamente incorrecto con estos desordenado factores?
Así que tal vez es agradable y limpio para recoger una unidad que hace de $\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$. Pero, ¿por qué no elegir a cambiar a su alrededor, poniendo el 'limpio' de bits en la unidad de medición de ángulo de sí mismo? ¿Por qué no definir: 1 Ángulo de una vuelta completa, a continuación, medir ángulos como una fracción de este giro completo (de una manera similar a la medición de velocidades como una fracción de la velocidad de la luz $c = 1$). Seguro, usted habría desordenado factores de $2 \pi$ en el cálculo, pero ¿qué hay de malo con esto matemáticamente?
Creo que parte de lo que yo estoy buscando es una explicación de por qué la radio es la parte más importante de un círculo. ¿No podría definir de otra unidad de ángulo en una manera similar a como el radián, pero con el uso el diámetro en lugar de la radio?
También, si radianes son fundamentalmente unidad natural, esto no significa que no sólo se $\pi \,\textrm{rad} = 180 ^\circ$, pero también se $\pi = 180 ^\circ$$1\,\textrm{rad}=1$?
