El momento en el mapa de la acción de la $\operatorname{SO}(3)$ sobre la esfera puede ser pensado como la inclusión de $S^2$ a $\mathbb R^3$ mediante la identificación de $\mathfrak{so}(3)$ (la Mentira de álgebra de $\operatorname{SO}(3)$)$\mathbb R^3$.
Yo soy sólo el aprendizaje de la geometría simpléctica y este hecho ocurrió sin explicación en un libro que estoy leyendo. Puede alguien explicar esto, preferentemente de una manera intuitiva?
Gracias!
Si usted ha estudiado el momento de mapa para coadjoint acciones, la respuesta es fácil de ver, pero lleva un par de palabras para describir. Si usted no está familiarizado con este tema, ver el final de esta respuesta para algunas de las referencias.
El álgebra de la Mentira $$\mathfrak{so}(3) = \{A \in M_{3 \times 3}(\mathbb{R}) : A = -A^T\}$$ puede ser identificado con $\mathbb{R}^3$ a través de la identificación $$\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathfrak{so}(3),$$ $$\xi = (\xi_1, \xi_2, \xi_3) \mapsto \begin{pmatrix} 0 & -\xi_3 & \xi_2 \\ \xi_3 & 0 & -\xi_1 \\ -\xi_2 & \xi_1 & 0 \end{pmatrix} = A_\xi.$$ En virtud de esta identificación, tenemos que $$[A_\xi, A_\eta] = A_{\xi \times \eta},$$ donde $\xi \times \eta$ es el producto cruz de los vectores en $\mathbb{R}^3$. Además, $$\mathrm{Tr}(A_\xi^T A_\eta) = 2 \langle \xi, \eta \rangle,$$ por lo que la norma interna del producto en $\mathbb{R}^3$ induce un invariante en el interior del producto en $\mathfrak{so}(3)$ que podemos utilizar para identificar a $\mathfrak{so}(3)$ y su dual $\mathfrak{so}(3)^\ast$. En virtud de estas identificaciones, tenemos que la adjoint acción de $\mathrm{SO}(3)$$\mathfrak{so}(3)$, $$X \cdot A = XAX^{-1},$$ corresponde a la costumbre de acción izquierda de $\mathrm{SO}(3)$$\mathbb{R}^3$, $$A \cdot \xi = A\xi.$$ Por otra parte, el adjunto acción es isomorfo a la coadjoint acción, por lo que el coadjoint acción corresponde a la costumbre de acción izquierda de $\mathrm{SO}(3)$$\mathbb{R}^3$. Por lo tanto, la coadjoint órbitas son sólo $2$-esferas, y el Kirillov-Kostant-Souriau forma simpléctica $$\omega_\Omega(\mathrm{ad}_A^\ast \Omega, \mathrm{ad}_{A'}^\ast \Omega) = \langle \Omega, [A,A'] \rangle$$ en el coadjoint órbitas corresponde a la habitual forma simpléctica $$\omega_x(u,v) = \langle x, u \times v)$$ en $S^2$. Ahora es el momento de ruta para la evidente acción de $\mathrm{SO}(3)$ en uno de sus coadjoint órbitas es sólo la inclusión del mapa de la órbita en $\mathfrak{so}(3)$ (esto es cierto para la acción de cualquier compacto, conectado Mentira grupo en uno de sus coadjoint órbitas, ver las referencias abajo), que en nuestro caso corresponde a la inclusión $$S^2 \hookrightarrow \mathbb{R}^3.$$
Aquí hay algunas referencias sobre el momento de mapas para coadjoint órbitas:
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